Question

附加題：已知函數(shù)f(x)=sin2ωx+

3

cosωx•cos(

π

2

-ωx)-

1

2

，(其中ω＞0)，且函數(shù)y=f（x）的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為

π

2

．
（Ⅰ）求f(

π

6

)的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f(kx+

π

12

)(k＞0)在區(qū)間[-

π

6

，

π

3

]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（III）是否存在實(shí)數(shù)m使方程3f²（x）-f（x）+m=0在(

π

12

，

π

3

]內(nèi)僅有一解，若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為sin(2ωx-

π

6

)，由此根據(jù)它的周期求出ω的值，即可求得f(

π

6

)的值．
（Ⅱ）因?yàn)?span id="7qt6n1b" class="MathJye">f(kx+

π

12

) = sin2kx，k＞0，則當(dāng)-

π

6

≤x≤

π

3

時(shí)，-

kπ

3

≤2kx≤

2kπ

3

，根據(jù)題意得[-

kπ

3

，

2kπ

3

]⊆[-

π

2

，

π

2

]，故

- kπ 3 ≥- π 2 2kπ 3 ≤ π 2 k＞0

，有此解得實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（III）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為探究是否存在實(shí)數(shù)m的值使方程3t²-t+m=0在（0，1]內(nèi)僅有一根或兩個(gè)相等實(shí)根，即直線y=m與二次函數(shù)y=-3t²+t，t∈（0，1]的圖象有唯一公共點(diǎn)，由圖象可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=sin2ωx+

3

cosωx•cos(

π

2

-ωx)-

1

2

=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx-

1

2

 
=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx=sin(2ωx-

π

6

)．（2分）  根據(jù)題意，

T

2

=

π

2

，即T=π，所以

2π

2ω

=π，即ω=1．（4分）
從而f(x)=sin(2x-

π

6

)，故f(

π

6

)=sin(

2π

6

-

π

6

)=sin

π

6

=

1

2

．（6分）
（Ⅱ）因?yàn)?span id="l76mcvq" class="MathJye">f(kx+

π

12

)=sin[2(kx+

π

12

)-

π

6

]=sin2kx，k＞0，（8分）
則當(dāng)-

π

6

≤x≤

π

3

時(shí)，-

kπ

3

≤2kx≤

2kπ

3

．（9分）
據(jù)題意，[-

kπ

3

，

2kπ

3

]⊆[-

π

2

，

π

2

]，所以

- kπ 3 ≥- π 2 2kπ 3 ≤ π 2 k＞0

，解得0＜k≤

3

4

．
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是(0，

3

4

]．（12分）
（III）∵x∈(

π

12

，

π

3

]，0＜2x-

π

6

≤

π

2

，∴0＜f（x）≤1，設(shè)f（x）=t，
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為探究是否存在實(shí)數(shù)m的值使方程3t²-t+m=0在（0，1]內(nèi)僅有一根或兩個(gè)相等實(shí)根．（14分）
又∵m=-3t2+t=-3(t2-

1

3

t)=-3(t-

1

6

)2+

1

12

，t∈(0，1]，（16分）
所以直線y=m與二次函數(shù)y=-3t²+t，t∈（0，1]的圖象有唯一公共點(diǎn)，由圖象可知，m=

1

12

或-2≤m≤0；（19分）
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為{

1

12

}∪[-2，0]．（20分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，利用y=Asin（ωx+∅）的圖象特征性質(zhì)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合以及等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．