Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（Ⅰ）當(dāng)時，判斷函數(shù)的零點個數(shù)；

（Ⅱ）若，求的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ） ．

【解析】試題分析：

(1)由導(dǎo)函數(shù)結(jié)合函數(shù)的極值可得函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點；

(2) 構(gòu)造函數(shù)，

若，不符合題意，討論 可得，

二次構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得的最大值為.

試題解析：

（Ⅰ）當(dāng)時， ，定義域為，

當(dāng)時， ，所以函數(shù)在內(nèi)無零點；

當(dāng)時， ，因為， ，所以，說明函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時， ，所以函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點；

綜上，函數(shù)的零點個數(shù)是1；

（Ⅱ）若，即，設(shè)，

若，則當(dāng)時，顯然，故不符合題意，所以.

（），

當(dāng)時， ，所以在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時， ，所以在上單調(diào)遞減；

從而，

由題意可知，所以，

此時，令， ，

可知在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，

所以，故的最大值為.