Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，已知AB=2，AC=4，AA₁=3．D是BC的中點．
（1）求直線A₁D與B₁C₁所成角的余弦值；
（2）求直線DB₁與平面A₁C₁D所成角的正弦值．

Answer 1

解：根據(jù)題意，得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），D（1，2，0），
A₁（0，0，3），B₁（2，0，3），C₁（0，4，3），
由此可得=（1，2，-3），=（0，4，0），
=（1，-2，0），=（-2，4，0），=（1，-2，3）
（1）∵cos＜，＞==，
∴直線A₁D與B₁C₁所成角的余弦值為；
（2）設(shè)平面A₁C₁D的一個法向量為=（x，y，z），
則，取z=1得x=3，y=0，
∴=（3，0，1）是平面A₁C₁D的一個法向量
因此，設(shè)直線DB₁與平面A₁C₁D所成角為θ，
可得sinθ=cos＜，＞==，
即直線DB₁與平面A₁C₁D所成角的正弦值等于．
分析：（1）根據(jù)題中所給的坐標(biāo)系，可得A、B、C、D、A₁、B₁、C₁各點的坐標(biāo)，由此得到向量、、、、的坐標(biāo)，利用空間向量的夾角公式算出cos＜，＞的值，即可得到直線A₁D與B₁C₁所成角的余弦值；
（2）設(shè)平面A₁C₁D的一個法向量為=（x，y，z），利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組，解出=（3，0，1），從而得到直線DB₁與平面A₁C₁D所成角θ滿足sinθ=cos＜，＞=，即得直線DB₁與平面A₁C₁D所成角的正弦值．
點評：本題給出底面為直角三角形的直三棱柱，求異面直線所成角和直線與平面所成角的正弦值，著重考查了利用空間坐標(biāo)系求空間直線與平面所成角和異面直線所成角等知識點，屬于中檔題．