Question

已知命題p：a＜1且a≠0，命題q：一元二次方程ax²+2x+1=0（a≠0）至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)數(shù)根，則p是q的（　�。�

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：①若命題p成立，則有a＜1且a≠0，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得可得，此一元二次方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩根之和與兩根之積異號(hào)，故此至少有
一個(gè)負(fù)的實(shí)數(shù)根，故命題q 成立．②若命題q成立，通過舉反例可得則命題p不一定成立，由此得出結(jié)論．

解答：解：①若命題p成立，則有a＜1且a≠0，
∴一元二次方程ax²+2x+1=0的判別式△=4-4a＞0，故此一元二次方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
再由兩根之和 x₁+x₂=-

2

a

，兩根之積 x₁•x₂=

1

a

，可得兩根之和與兩根之積 異號(hào)，
故一元二次方程ax²+2x+1=0（a≠0）至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)數(shù)根，故命題q 成立．
②若命題q成立，則命題p不一定成立，例如當(dāng)a=1時(shí)，一元二次方程ax²+2x+1=0即 x²+2x+1=0，有一個(gè)負(fù)根為x=-1，
此時(shí)，顯然命題p不成立．
故由命題q成立不能推出命題p成立．
綜合①②可得p是q的 充分不必要條件，
故選A．

點(diǎn)評：本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，充分條件、必要條件、充要條件的定義，通過舉反例來說明某個(gè)命題不正確，是一種簡單有效的方法．