Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）討論函數(shù)的極值；

（2）若為整數(shù)，，且，不等式成立，求整數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分為和兩種情形，結(jié)合極值的定義即可得結(jié)論；

（2）原不等式等價(jià)于，令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系即可求出的最值.

（1）由題意可得的定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，恒成立，

∴在上單調(diào)遞減，無(wú)極值，

當(dāng)時(shí)，令，解得，

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

∴在處取得極大值，且極大值為，無(wú)極小值，

綜上所述，當(dāng)時(shí)，無(wú)極值，

當(dāng)時(shí)，極大值為，無(wú)極小值.

（2）把代入可得，

∵，則

∴，

∴

令，

∴，

由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，而

∴在上存在唯一的零點(diǎn)且

故在上也存在唯一的零點(diǎn)且為

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

∴

由，可得，

∴，∴，

由(*)式等價(jià)于，

∴整數(shù)的最大值為2.