Question

形狀如右圖所示的三個游戲盤中（圖a是正方形，圖b是半徑之比為1：2的兩個同心圓，圓c是正六邊形），各有一個玻璃小球，依次搖動三個游戲盤后，將它們水平放置，就完成了一局游戲．
（I）一局游戲后，這三個盤中的小球都停在陰影部分的概率是多少？
（II）用隨機(jī)變量ξ表示一局游戲后，小球停在陰影部分的事件數(shù)與小球沒有停在陰影部分的事件數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）先根據(jù)幾何概型的概率公式得到在三個圖形中，小球停在陰影部分的概率，因為三個小球是否停在陰影部分相互之間沒有關(guān)系，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率得到結(jié)果．
（II）根據(jù)一次游戲結(jié)束小球停在陰影部分的事件數(shù)可能是0，1，2，3，得到ξ的可能取值是1，3，當(dāng)變量等于3時，表示三個小球都在陰影部分或三個小球都不在陰影部分，這兩種情況是互斥的，得到概率，分布列和期望．

解答：解：（I）由題意知，圖a中，小球停在陰影部分的概率是

1

2

，
圖b中小球停在陰影部分的概率是

1

4

，
圖c中小球停在陰影部分的概率是

1

3

，
且三個小球是否停在陰影部分相互之間沒有關(guān)系，
∴根據(jù)相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率得到P=

1

2

×

1

4

×

1

3

=

1

24

（II）∵ξ表示小球停在陰影部分的事件數(shù)與小球沒有停在陰影部分的事件數(shù)之差的絕對值，
一次游戲結(jié)束小球停在陰影部分的事件數(shù)可能是0，1，2，3，
則小球沒有停在陰影部分的事件數(shù)是3，2，1，0，
∴ξ的可能取值是1，3，
當(dāng)ξ=3時，表示三個小球都在陰影部分或三個小球都不在陰影部分，
P（ξ=3）=

1

2

×

1

4

×

1

3

+

1

2

×

3

4

×

2

3

=

7

24

P（ξ=1）=1-

7

24

=

17

24

∴ξ的分布列是

ξ	1	3
p	17 24	7 24

∴數(shù)學(xué)期望Eξ=1×

17

24

+3×

7

24

=

19

12

點(diǎn)評：本題考查幾何概型的概率公式，考查相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，本題是一個典型的綜合題目，可以作為高考卷中的題目出現(xiàn)．