Question

已知函數(shù)，(x＞0)．

(Ⅰ)當(dāng)0＜a＜b，且f(a)＝f(b)時(shí)，求證：ab＞1；

(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)a，b(a＜b)，使得函數(shù)y＝f(x)的定義域、值域都是[a，b]，若存在，則求出a，b的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

(Ⅲ)若存在實(shí)數(shù)a，b(a＜b)，使得函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)閇a，b]時(shí)，值域?yàn)閇ma，mb]

(m≠0)，求m的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)∵x＞0，∴ 　　∴f(x)在(0，1)上為減函數(shù)，在上是增函數(shù)． 　　由0＜a＜b，且f(a)＝f(b)， 　　可得0＜a＜1＜b和． 　　即． 　　∴2ab＝a＋b＞．　　　　　　　　　　　　　　3分 　　故，即ab＞1．　　　　　　　　　　　　　　4分 　　(Ⅱ)不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b． 　　若存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b，使得函數(shù)y＝的定義域、值域都是[a，b]，則a＞0． 　　 　　當(dāng)時(shí)，在(0，1)上為減函數(shù)． 　　故即 　　解得a＝b． 　　故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．　　　　　　　　　　　　6分 　　當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)． 　　故即 　　此時(shí)a，b是方程的根，此方程無實(shí)根． 　　故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．　　　　　　　　　　　　8分 　　當(dāng)，時(shí)， 　　由于，而， 　　故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b． 　　綜上可知，不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．　　　　　　　　　　　　10分 　　(Ⅲ)若存在實(shí)數(shù)a，b(a＜b)，使得函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)閇a，b]時(shí)，值域?yàn)閇ma，mb]． 　　則a＞0，m＞0． 　　當(dāng)時(shí)，由于f(x)在(0，1)上是減函數(shù)，故．此時(shí)刻得a，b異號(hào)，不符合題意，所以a，b不存在． 　　當(dāng)或時(shí)，由(Ⅱ)知0在值域內(nèi)，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在． 　　故只有． 　　∵在上是增函數(shù)， 　　∴即 　　b是方程的兩個(gè)根． 　　即關(guān)于x的方程有兩個(gè)大于1的實(shí)根．　　　　　　　　12分 　　設(shè)這兩個(gè)根為，． 　　則＋＝，·＝． 　　∴即 　　解得． 　　故m的取值范圍是．　　　　　　　　　　　　　　　　14分