Question

已知中心在原點的橢圓的一個焦點為（0，

2

），且過點A(1，

2

)，過A作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，它們與橢圓的另一個交點分別為點B和點C．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求證：直線BC的斜率為定值，并求這個定值．
（3）求三角形ABC的面積最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意得c=

2

，再由由橢圓的定義求出a=2，b=

2

，從而得到橢圓的方程．
（2）設(shè)AB的斜率為k，則AC的斜率為-k，寫出AB的方程與橢圓聯(lián)立求出B，C坐標(biāo)得到SC的斜率化簡即可
證明直線BC的斜率為定值．
（3）利用弦長公式求出BC 的長，利用得到直線的距離公式求出A到BC的距離，即可求三角形ABC的面積最大值．

解答：解：（1）由題意可知c=

2

，由橢圓的定義求出a=2，所以b=

2

，所以橢圓的方程為：

x2

2

+

y2

4

=1
（2）由題意得設(shè)AB的斜率為k，則AC的斜率為-k
所以

y- 2 =k(x-1) 2x2+y2=4

代入得x1+x2=

2k2-2 2 k

2+k2

，
又∵x₁=1∴xB=

k2-2 2 k-2

k2+2

同理xC=

k2+2 2 k-2

k2+2

，kBC=

yB-yC

xB-xC

=

kxB-k+ 2 +kxC-k- 2

xB-xC

=

2

為定值
（3）設(shè)BC方程為y=

2

x+m

y= 2 x+m x2 2 + y2 4 =1

得4x2+2

2

mx+m2-4=0
得|BC|=

3

.

4- 1 2 m2

A到BC的距離為d=

|m|

3

所以S△=

1

2

|BC|•d=

1

2

|m|

4- 1 2 m2

=

1

2

m2(4- 1 2 m2)

=

2

4

m2(8-m2)

≤

2

當(dāng)m²=8-m²時，即m²=4時“=”成立，此時△＞0成立．

點評：本題是中檔題，考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，三角形面積求法，最大值的求法，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想．