Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）求證： .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在和上都是增函數(shù) （Ⅱ）證明見解析

【解析】【試題分析】（1）先對(duì)題設(shè)條件中函數(shù)解析式進(jìn)行求導(dǎo)，再構(gòu)造函數(shù)對(duì)所求得的導(dǎo)函數(shù)的值的符號(hào)進(jìn)行判定；（2）先構(gòu)造函數(shù)，再對(duì)其求導(dǎo)得到，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，得到最小值為0，從而證得然后借助函數(shù)的單調(diào)性，分、、三種情形進(jìn)行分析推證，使得不等式獲證。

解：（Ⅰ）由已知的定義域?yàn)?/span>，

,

設(shè)，則，得，

∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

∴

∴在和上都是增函數(shù)./span>

（Ⅱ）設(shè)，

則，得，

∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

∴，即.

①當(dāng)時(shí)， ，

∵在上是增函數(shù)，

∴，即，∴.

②當(dāng)時(shí)， ，∵在上是增函數(shù)，

∴，即，∴.

③當(dāng)時(shí)，

由①②③可知，對(duì)一切，有，即.