Question

（2008•崇明縣一模）已知：函數(shù)f_n（x）（n∈N^*）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），其中f1(x)=x+1+

1

x

，并且當n＞1且n∈N^*時，滿足fn(x)-fn-1(x)=xn+

1

xn

．
（1）求函數(shù)f_n（x）（n∈N^*）的解析式；
（2）當n=1，2，3時，分別研究函數(shù)f_n（x）的單調(diào)性與值域；
（3）借助（2）的研究過程或研究結(jié)論，提出一個類似（2）的研究問題，并寫出問題的研究過程與研究結(jié)論．
【第（3）小題將根據(jù)你所提出問題的質(zhì)量，以及解決所提出問題的情況進行分層評分】

Answer 1

分析：（1）利用累加法直接求函數(shù)f_n（x）（n∈N^*）的解析式；
（2）當n=1當n=1，2，3時，分別利用雙勾函數(shù)，平方，求出函數(shù)f₁（x），f₂（x），f₃（x）的單調(diào)性與值域；
（3）借助（2）的研究過程或研究結(jié)論，求出第一類，結(jié)論一：f₄（x）單調(diào)性與值域；結(jié)論二：f₅（x）的單調(diào)性與值域；第二類問題，結(jié)論三、當x＞0時，函數(shù)f_n（x）的單調(diào)性與值域；結(jié)論四、當x＜0且n為奇數(shù)時，結(jié)論五、當x＜0且n為偶數(shù)時，函數(shù)f_n（x）的單調(diào)性與值域；通過數(shù)列求和，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可…

解答：解：（1）由于

f2(x)-f1(x)=x2+ 1 x2 f3(x)-f2(x)=x3+ 1 x3 … fn(x)-fn-1(x)=xn+ 1 xn

；                           （2分）
所以fn(x)=xn+xn-1+…+x+1+

1

x

+…+

1

xn-1

+

1

xn

；                  （4分）
（2）（每小題結(jié)論正確（1分），證明（1分），共6分）
當n=1時，f1(x)=x+1+

1

x

，易證函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）；
單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，0），（0，1）；值域為（-∞，-1]∪[3，+∞）
當n=2時，f2(x)=x2+x+1+

1

x

+

1

x2

f2(x)=(x+

1

x

+

1

2

)2-

5

4

，易證函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），（1，+∞；單位遞減區(qū)間為（-∞，-1），（0，1）；因此函數(shù)在（-∞，0）值域為[f₂（-1），+∞），在（0，+∞）上值域為[5，+∞）
因此函數(shù)f2(x)=x2+x+1+

1

x

+

1

x2

值域為[1，+∞）
當n=3時，f3(x)=x2+x+1+

1

x

+

1

x2

+x3+

1

x3

=f₂（x）+x3+

1

x3

易證f₂（x）、x3+

1

x3

，在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，
所以f3(x)=x2+x+1+

1

x

+

1

x2

+x3+

1

x3

在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增．
由于f3(x)=x3+x2+x+1+

1

x

+

1

x2

+

1

x3

=(

1-x4

1-x

)(1+

1

x3

)-1，用定義易證f3(x)=x3+x2+x+1+

1

x

+

1

x2

+

1

x3

在（-∞，-1）單調(diào)遞增，在（-1，0）上單調(diào)遞減．f3(x)=x3+x2+x+1+

1

x

+

1

x2

+

1

x3

的值域為（-∞，-1]∪[7，+∞）
（3）以下給出若干解答供參考，評分方法參考本小題閱卷說明：
第一類問題
結(jié)論一、f4(x)=x4+x3+x2+x+1+

1

x

+

1

x2

+

1

x3

+

1

x4

單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），（1，+∞）單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），（0，1）；值域為[1，+∞）；
結(jié)論二、f5(x)=x5+x4+x3+x2+x+1+

1

x

+

1

x2

+

1

x3

+

1

x4

+

1

x5

單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）
；單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），（-1，0），值域為（-∞，-1]∪[11，+∞）
 解法及評分說明：解法與f3(x)=x3+x2+x+1+

1

x

+

1

x2

+

1

x3

類同，結(jié)論分2分，證明正確得2分，共4分；
第二類問題
結(jié)論三、當x＞0時，fn(x)=xn+xn-1+…+x+1+

1

x

+…+

1

xn-1

+

1

xn

在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，值域為[2n+1，+∞）
 結(jié)論四、當x＜0且n為奇數(shù)時，fn(x)=xn+xn-1+…+x+1+

1

x

+…+

1

xn-1

+

1

xn

在（-1，0）單調(diào)遞減，在（-∞，-1）單調(diào)遞增；值域為（-∞，-1]；
結(jié)論五、當x＜0且n為偶數(shù)時，fn(x)=xn+xn-1+…+x+1+

1

x

+…+

1

xn-1

+

1

xn

在（-∞，-1）單調(diào)遞減，在（-1，0）單調(diào)遞增；值域為[1，+∞）；
解法及評分說明：結(jié)論三的單調(diào)性證明可以用數(shù)學歸納法完成；即；x＞0時．
①當n=1時，f1(x)=x+1+

1

x

，用定義易證函數(shù)在（0，1）單調(diào)遞減；在（1，+∞）上單調(diào)遞增；計算得值域為（-∞，-1]∪[3，+∞）
 ②設(shè)函數(shù)fn(x)=xn+xn-1+…+x+1+

1

x

+…+

1

xn-1

+

1

xn

（n∈N^*）在（0，1）單調(diào)遞減；在（1，+∞）
上單調(diào)遞增；計算得值域為[2n+1，+∞）
 則f_n+1（x）=f_n（x）+xn+1+

1

xn+1

，對于任意0＜x₁＜x₂，f_n+1（x₂）-f_n+1（x₁） 
=fn(x2)-fn(x1)+

x

n+1 2

+

1

x n+1 2

-

x

n+1 1

-

1

x n+1 1

 
=fn(x2)-fn(x1)+(

x

n+1 2

-

x

n+1 1

)(1-

1

x n+1 1 x n+1 2

)，易證函數(shù)f_n+1（x）=f_n（x）+xn+1+

1

xn+1

在（0，1）
單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增；值域為[2（n+1）+1，+∞）．
所以由①、②可得結(jié)論成立．
結(jié)論四及結(jié)論五的證明，可以先求和，后用定義進行證明，即：fn(x)=(

1-xn+1

1-x

)×(1+

1

xn

)-1，
f_n（x₂）-f_n（x₁）=

( x n+1 2 - x n+1 1 )( 1 x n 1 x n 2 -1)+( x n 2 - x n 1 )(x2x1- 1 x n+1 1 x n+1 2 )

(1-x1)(1-x2)

，容易獲得結(jié)論的證明．
解法及評分說明：結(jié)論分3分，證明正確得3分，共6分；
第三類問題
結(jié)論六：當n為奇數(shù)時，fn(x)=xn+xn-1+…+x+1+

1

x

+…+

1

xn-1

+

1

xn

在（-1，0），（0，1）
單調(diào)遞減，在（-∞，-1），（1，+∞）單調(diào)遞增；值域為（-∞，-1]∪[2n+1，+∞）；
結(jié)論七：當n為偶數(shù)時單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），（0，1）
；值域為[1，+∞）；
結(jié)論八：當n為奇數(shù)時，fn(x)=xn+xn-1+…+x+1+

1

x

+…+

1

xn-1

+

1

xn

在（-1，0），（0，1）單調(diào)遞減，在（-∞，-1），（1，+∞）單調(diào)遞增；值域為（-∞，-1]∪[2n+1，+∞）；
當n為偶數(shù)時單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），（0，1）；值域為[1，+∞）；
解法及評分說明：解法與第二類問題類同．結(jié)論分4分，求解正確得4分，共8分．

點評：本題是開放性問題，通過研究基本函數(shù)的單調(diào)性，類比到其它的情況，考查分類討論的思想，函數(shù)的單調(diào)性的基本證明方法，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，數(shù)列求和的應(yīng)用，難度大，綜合性強，多作為壓軸題目，競賽試題出現(xiàn)．