Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左頂點(diǎn)A（-2，0），過右焦點(diǎn)F且垂直于長軸的弦長為3．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)Q，與y軸交于點(diǎn)R，過原點(diǎn)與l平行的直線與橢圓交于點(diǎn)P，求證：

|AQ|•|AR|

|OP|2

為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，可求得a=2，b²=3，從而可得橢圓C的方程；
（Ⅱ）由題意知，直線AQ，OP斜率存在，故設(shè)為k，則直線AQ的方程為y=k（x+2），直線OP的方程為y=kx．可得R（0，2k），|AR|=2

1+k2

，A（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立方程組

y=k(x+2) x2 4 + y2 3 =1

，得：（4k²+3）x²+16k²x+16k²-12=0，利用韋達(dá)定理可得x₁+x₂=-

16k2

4k2+3

，x₁x₂=

16k2-12

4k2+3

，從而求得|AQ|=

12 1+k2

4k2+3

；再設(shè)y=kx與橢圓交另一點(diǎn)為M（x₃，y₃），P（x₄，y₄），可求得，|x₄|=

12 4k2+3

，從而得|OP|=

1+k2

•

12 4k2+3

；繼而可求得

|AQ|•|AR|

|OP|2

的值．

解答：解：（1）a=2，設(shè)過右焦點(diǎn)F且垂直于長軸的弦為MN，將M（c，y_M）代入橢圓方程

c2

a2

+

y 2 M

b2

=1，解得y_M=±

b2

a

，…（2分）
故

2b2

a

=3，可得b²=3．                                                …（4分）
所以，橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．                                        …（6分）
（2）由題意知，直線AQ，OP斜率存在，故設(shè)為k，則直線AQ的方程為y=k（x+2），直線OP的方程為y=kx．可得R（0，2k），
則|AR|=2

1+k2

，…（8分）
設(shè)A（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立方程組

y=k(x+2) x2 4 + y2 3 =1

，
消去y得：（4k²+3）x²+16k²x+16k²-12=0，
x₁+x₂=-

16k2

4k2+3

，x₁x₂=

16k2-12

4k2+3

，
則|AQ|=

1+k2

|x₁-x₂|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

12 1+k2

4k2+3

．      …（11分）
設(shè)y=kx與橢圓交另一點(diǎn)為M（x₃，y₃），P（x₄，y₄），聯(lián)立方程組

y=kx x2 4 + y2 3 =1

，
消去y得（4k²+3）x²-12=0，|x₄|=

12 4k2+3

，
所以|OP|=

1+k2

|x₄|=

1+k2

•

12 4k2+3

．                             …（13分）
故

|AQ|•|AR|

|OP|2

=

2 1+k2 12 1+k2 4k2+3

( 1+k2 12 4k2+3 )2

=2．
所以

|AQ|•|AR|

|OP|2

等于定值2…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力，屬于難題．