Question

已知在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=2，AA₁=3，M，N分別是棱BB₁，BC上的點，且BM=2，BN=1，建立如圖所示的空間直角坐標系．求：
（1）異面直線DM與AN所成角的余弦值；
（2）直線DM與平面AMN所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）確定

DM

=(-2，4，2)，

AN

=(1，4，0)，利用向量的夾角公式，即可求異面直線DM與AN所成角的余弦值；
（2）求出平面AMN的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線DM與平面AMN所成角的正弦值．

解答：解：由題意知，D（2，0，0），B（0，4，0），A₁（0，0，3），M（0，4，2），N（1，4，0），
（1）

DM

=(-2，4，2)，

AN

=(1，4，0)，
∴cos?

DM

，

AN

＞=

DM • AN

| DM || AN |

=

-2×1+4×4+2×0

2 6 × 17

=

7 102

102

，…（5分）
∴異面直線DM與AN所成角的余弦值為

7 102

102

．       …（7分）
（2）

AM

=(0，4，2)，

AN

=(1，4，0)，
設平面AMN的法向量為

m

=（x，y，z），
則

m • AM =0 m • AN =0

，即

4y+2z=0 x+4y=0

，解得

x=-4y z=-2y

，
不妨取x=4，則y=-1，z=2，故平面AMN的一個法向量為

m

=（4，-1，2），（10分）
則cos＜

DM

，

m

＞=

DM • m

| DM || m |

=

-2×4+4×(-1)+2×2

2 6 × 21

=-

2 14

21

，…（12分）
根據(jù)圖形可知，直線DM與平面AMN所成角的正弦值為

2 14

21

． …（14分）

點評：本題考查向量知識的運用，考查空間角，考查學生的計算能力，正確運用向量的夾角公式是關鍵．