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        1. 已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,AA1=3,M,N分別是棱BB1,BC上的點,且BM=2,BN=1,建立如圖所示的空間直角坐標系.求:
          (1)異面直線DM與AN所成角的余弦值;
          (2)直線DM與平面AMN所成角的正弦值.
          分析:(1)確定
          DM
          =(-2,4,2)
          ,
          AN
          =(1,4,0)
          ,利用向量的夾角公式,即可求異面直線DM與AN所成角的余弦值;
          (2)求出平面AMN的一個法向量,利用向量的夾角公式,即可求直線DM與平面AMN所成角的正弦值.
          解答:解:由題意知,D(2,0,0),B(0,4,0),A1(0,0,3),M(0,4,2),N(1,4,0),
          (1)
          DM
          =(-2,4,2)
          ,
          AN
          =(1,4,0)

          cos?
          DM
          ,
          AN
          >=
          DM
          AN
          |
          DM
          ||
          AN
          |
          =
          -2×1+4×4+2×0
          2
          6
          ×
          17
          =
          7
          102
          102
          ,…(5分)
          ∴異面直線DM與AN所成角的余弦值為
          7
          102
          102
          .       …(7分)
          (2)
          AM
          =(0,4,2)
          ,
          AN
          =(1,4,0)
          ,
          設平面AMN的法向量為
          m
          =(x,y,z),
          m
          AM
          =0
          m
          AN
          =0
          ,即
          4y+2z=0
          x+4y=0
          ,解得
          x=-4y
          z=-2y
          ,
          不妨取x=4,則y=-1,z=2,故平面AMN的一個法向量為
          m
          =(4,-1,2),(10分)
          cos<
          DM
          ,
          m
          >=
          DM
          m
          |
          DM
          ||
          m
          |
          =
          -2×4+4×(-1)+2×2
          2
          6
          ×
          21
          =-
          2
          14
          21
          ,…(12分)
          根據(jù)圖形可知,直線DM與平面AMN所成角的正弦值為
          2
          14
          21
          . …(14分)
          點評:本題考查向量知識的運用,考查空間角,考查學生的計算能力,正確運用向量的夾角公式是關鍵.
          練習冊系列答案
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          π6
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          A .     B.      C.     D.

           

           

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