Question

【題目】已知橢圓：（）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且兩個(gè)焦點(diǎn)，的坐標(biāo)依次為和.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)，是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，若，證明：直線(xiàn)與以原點(diǎn)為圓心的定圓相切，并寫(xiě)出此定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，由橢圓的定義可得

2a＝計(jì)算可得a的值，由橢圓的幾何性質(zhì)可得b的值，將a、b的值代入橢圓的方程可得答案；

（2）設(shè)直線(xiàn)EF的方程為y=kx+b，E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），聯(lián)立直線(xiàn)EF與橢圓方程，可得（3+4k2）x2+8kbx+4b2-12=0，分析可得（kx1+b）（kx2+b）=-x1x2，整理得(k2+1)x1x2+bk(x1+x2)+b2＝0，由直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系分析可得結(jié)論．

詳解：

（1）由橢圓定義得，即，

又，所以，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，

直線(xiàn)的方程與橢圓方程聯(lián)立，消去得，

當(dāng)時(shí)，得，，

由已知，即，因?yàn)辄c(diǎn)，在直線(xiàn)上，

所以，整理得，

即，化簡(jiǎn)得，

原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，，

所以直線(xiàn)與一個(gè)定圓相切，定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.