Question

動圓P與定圓O₁：x²+y²+4x-5=0和O₂：x²+y²-4x+3=0均外切，設P點的軌跡為C．
（1）求C的方程；
（2）過點A（3，0）作直線l交曲線C于P、Q兩點，交y軸于M點，若

MA

=λ1

MP

=λ2

MQ

當λ₁+λ₂=m時，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）Q₁：（x+2）²+y²=9，Q₂：（x-2）²+y²=1，動圓的半徑為r，則|PQ₁|=r+3，|PQ₂|=r+1，|PQ₁|-|PQ₂|=2，由此能求出C的方程．
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），當k不存在時，不合題意．直線PQ的方程為y=k（x-3），由此能求出m的取值范圍．

解答：解：（1）Q₁：（x+2）²+y²=9，Q₂：（x-2）²+y²=1，
動圓的半徑為r，則|PQ₁|=r+3，
|PQ₂|=r+1，|PQ₁|-|PQ₂|=2，…（3分）
點P的軌跡是以O₁、O₂為焦點的雙曲線右支，
a=1，c=2，
方程為x2-

y2

3

=1，(x＞0)…（6分）
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
當k不存在時，不合題意．
直線PQ的方程為y=k（x-3），
則M(0，-3k)，

MA

=(3，3k)，

MP

=(x1，y1+3k)，

MQ

=(x2，y2+3k)，由

MA

=λ1

MP

=λ2

MQ

得

3=λ1x1 3=λ2x2

…（8分）
由

y=k(x-3) x2- y2 3 =1

得(3-k2)x2+6k2x-3-9k2=0∵x₁、x2是此方程的兩正根，x1+x2=

6k2

k2-3

＞0，x1x2=

9k2+3

k2-3

＞0，
∴k²＞3…（10分）
m=λ1+λ2=

3

x1

+

3

x2

=

3(x1+x2)

x1x2

=

6k2

3k2+1

=2-

2

3k2+1

∈(

9

5

，2)…（14分）

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質(zhì)等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．