Question

已知雙曲線E：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率為e，左、右兩焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，焦距為2c，拋物線C以F₂為頂點(diǎn)，F(xiàn)₁為焦點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線與雙曲線右支上的一個交點(diǎn)，若a|PF₂|+c|PF₁|=8a²，則e的值為（　　）

• A、

  3

• B、3
• C、

  2

• D、

  6

Answer 1

分析：作出圖象，結(jié)合圖象知拋物線準(zhǔn)線的方程為x=3c，根據(jù)拋物線的定義可得|PF₁|=|PR|=3c-x₀，根據(jù)雙曲線的第二定義可得

|PF2|

x0- a2 c

=e，由已知a|PF₂|+c|PF₁|=8a²，可得e=

3

．

解答：解：如右圖所示，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），由拋物線以F₂為頂點(diǎn)，F(xiàn)₁為焦點(diǎn)，可得其準(zhǔn)線的方程為x=3c，
根據(jù)拋物線的定義可得|PF₁|=|PR|=3c-x₀，又由點(diǎn)P為雙曲線上的點(diǎn)，
根據(jù)雙曲線的第二定義可得

|PF2|

x0- a2 c

=e，即得|PF₂|=ex₀-a，
由已知a|PF₂|+c|PF₁|=8a²，可得-a²+3c²=8a²，即e²=3，由e＞1可得e=

3

，
故選A．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要結(jié)合題設(shè)條件，作出圖象，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解．