Question

如圖，實線部分是某公園設(shè)計的游客觀光路線平面圖，曲線部分是以AB為直徑的半圓，點O為圓心，△ABD是以AB為斜邊的等腰直角三角形，其中AB=2千米，∠EOA=∠FOB=2x(0＜x＜

π

4

)．若游客在每條路線上游覽的“心悅效果”均與相應(yīng)的線段或弧的長度成正比，且中間路線DE，DF，EF的比例系數(shù)為2k，兩邊路線DA，DB，AE，BF的比例系數(shù)為k（k＞0），假定該公園整體的“心悅效果”y是游客游覽所有路線“心悅效果”的和．
（1）試將y表示為x的函數(shù)；
（2）試確定當x取何值時，該公園整體的“心悅效果”最佳？

Answer 1

分析：（1）由題意知，建立三角函數(shù)模型，根據(jù)所給的條件看出要用的三角形的邊長和角度，用余弦定理寫出要求的邊長，表述出函數(shù)式，整理變化成最簡的形式，得到結(jié)果．
（2）要求函數(shù)的單調(diào)性，對上一問整理的函數(shù)式求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單增區(qū)間和單減區(qū)間，看出變量x取到的結(jié)果．

解答：解：（1）∵∠EOA=∠FOB=2x，
∴弧EF、AE、BF的長分別為π-4x，2x，2x
連接OD，則由OD=OE=OF=1，
∠FOD=∠EOD=2x+

π

2

，
∴DE=DF=

1+1-2cos(2x+ π 2 )

=

2+2sin2x

=

2

（sinx+cosx），
∴y=2k[2

2

（sinx+cosx）+π-4x]+k（2

2

+4x）=2k[2

2

（sinx+cosx）-2x+

2

+π]；
（2）∵由y′=4k[

2

（cosx-sinx）-1]=0，
解得：cos（x+

π

4

）=

1

2

，即x=

π

12

，
又當x∈（0，

π

12

）時，y'＞0，此時y在（0，

π

12

）上單調(diào)遞增；
當x∈（

π

12

，

π

4

））時，y'＜0，此時y在（

π

12

，

π

4

）上單調(diào)遞減．
故當x=

π

12

時，該公園整體的“心悅效果”最佳．

點評：本題是一道難度較大的題，表現(xiàn)在以下幾個方面第一需要自己根據(jù)條件建立三角函數(shù)模型寫出解析式，再對解析式進行整理運算，得到函數(shù)性質(zhì)，這是一個綜合題，解題的關(guān)鍵是讀懂題意．