Question

以下四個(gè)命題
（1）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bsinA=acosB，則B=

π

4

（2）設(shè)

a

，

b

是兩個(gè)非零向量且|

a

•

b

=|

a

||

b

|，則存在實(shí)數(shù)λ，使得

b

=λ

a

；
（3）方程sinx-x=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解有且僅有一個(gè)；
（4）a，b∈R且a³-3b＞b³-3a則a＞b；
其中正確的個(gè)數(shù)有（　　）

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3

D．4個(gè)

Answer 1

分析：①由正弦定理和bsinA=acosB知，sinB=cosB，可得角B的值；
②由于|

a

•

b

|=|

a

||

b

|，可以得到兩向量共線；
③由于函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，得到x-sinx=0至多有一個(gè)解，
又知x=0 時(shí)，上式成立，得到方程只有這一個(gè)解；
④由不等式的性質(zhì)，即可得到．

解答：解：①由正弦定理知，

a

sinA

=

b

sinB

，即bsinA=asinB，
又由bsinA=acosB知，∴sinB=cosB，則B=

π

4

，故①正確；
②由于|

a

•

b

|=|

a

||

b

|，則cosθ=±1，
所以兩向量

a

，

b

共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使得

b

=λ

a

，故②正確；
③令f（x）=sinx-x，則f′（x）=1-cosx≥0恒成立，
所以x-sinx=0至多有一個(gè)解，
因?yàn)閤=0 時(shí)，x-sinx=0，所以只有這一個(gè)解，故③正確；
④由于a³-3b＞b³-3a，則a³-b³+3a-3b＞0，
整理得（a-b）（a²+ab+b²+3）＞0，即(a-b)[(a+

1

2

b)2+

3

4

b2+3)＞0，所以a＞b，
由于a＞b，則a²+3＞b²+3，故a（a²+3）＞b（b²+3），整理得a³-3b＞b³-3a，故④正確．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是，判斷命題真假，比較綜合的考查了三角函數(shù)和不等式的一些性質(zhì)，我們要對(duì)四個(gè)結(jié)論逐一進(jìn)行判斷，可以得到正確的結(jié)論．