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        1. 已知幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長為4的等腰直角三角形,正視圖為直角梯形.

          (1)求異面直線所成角的余弦值;

          (2)求二面角的正弦值;

          (3)求此幾何體的體積的大小

           

          【答案】

          (1) 異面直線所成的角的余弦值為

          (2) 二面角的的正弦值為

          (3)幾何體的體積為16.

          【解析】

          試題分析:(1) 先確定幾何體中的棱長, ,通過取的中點,連結(jié),

          ,∴或其補角即為異面直線所成的角. 在中即可解得的余弦值.

          (2) 因為二面角的棱為,可通過三垂線法找二面角,由已知平面,過,連.可得平面,從而,∴為二面角的平面角.  在中可解得角的正弦值.

          (3)該幾何體是以為頂點,為高的,為底的四棱錐,所以

          此外也可以以為原點,以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系來解答.

          試題解析:(1)取的中點是,連結(jié),

          ,∴或其補角即為異面直線所成的角.

          中,,.∴

          ∴異面直線所成的角的余弦值為

          (2)因為平面,過,連

          可得平面,從而,

          為二面角的平面角. 

          中,,,

          .∴

          ∴二面角的的正弦值為

          (3),∴幾何體的體積為16.

          方法2:(1)以為原點,以CA,CB,CE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

          則A(4,0,0),B(0,4,0),D(0,4,2),E(0,0,4)

          ,,∴,

          ∴異面直線所成的角的余弦值為

          (2)平面的一個法向量為,設(shè)平面ADE的一個法向量為,

          所以,

          , ∴

          從而,,

          ,則,,

          ∴二面角的的正弦值為

          (3),∴幾何體的體積為16.

          考點:1、三視圖還原幾何體的棱長;2、異面直線所成的角,二面角;3、四棱錐的體積;4、利用向量法解立體幾何問題.

           

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