Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x²-|x-a|+1，x∈R．
（1）若f（x）是偶函數(shù)，試求a的值；
（2）在（1）的條件下，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x）是偶函數(shù)，利用f（-x）=f（x）在R上恒成立，即可求得a的值；
（2）由（1）知a的值，從而寫出f（x）的表達(dá)式，再將|x|看成整體，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的最小值即可．

解答：解：（1）∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x）在R上恒成立，
即（-x）²-|-x-a|+1=x²-|x-a|+1，
化簡(jiǎn)整理，得ax=0在R上恒成立，∴a=0．
（2）由（1）知a=0，∴f（x）=x²-|x|+1，
∵x²≥0，|x|≥0，當(dāng)x=±

1

2

時(shí)，f(x)=

3

4

，
∴當(dāng)x=±

1

2

時(shí)，f（x）的最小值為

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．