Question

【題目】已知：定義在上的函數(shù)的極大值為.

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）若關(guān)于的不等式有且只有一個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）

【解析】

（1）先求出的導(dǎo)數(shù)，分析單調(diào)性，根據(jù)極大值為，對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)為0，求出的值；

（2）根據(jù)（1）得出函數(shù)的單調(diào)性，可以作出函數(shù)的圖象，再根據(jù)條件有，或，然后根據(jù)圖象找條件求出的范圍；

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

，

∵方程的，

故方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)，

則，

則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

由于數(shù)的極大值為，可得，

即，解得；

（2）又（1）可得，，

故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

又在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

由于，

，

函數(shù)的大致圖象如下：

由不等式有且只有一個(gè)整數(shù)解；

則 或有且只有一個(gè)整數(shù)解；

故或，即或，

∴或，

故實(shí)數(shù)的取值范圍為.