Question

已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率為，分別為其左右焦點(diǎn)．一動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，且與直線相切．

（1）求橢圓及動(dòng)圓圓心軌跡的方程；

（2） 在曲線上有兩點(diǎn)、，橢圓上有兩點(diǎn)、，滿足與共線，與共線，且，求四邊形面積的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1），

（2）四邊形PMQN面積的最小值為8

【解析】

試題分析：解：（1）（ⅰ）由已知可得，

則所求橢圓方程.　　　　       3分

（ⅱ）由已知可得動(dòng)圓圓心軌跡為拋物線，且拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，則動(dòng)圓圓心軌跡方程為.               5分

（2）當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)PQ的長(zhǎng)即為橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，

從而            6分

設(shè)直線MN的斜率為k，則k≠0，直線MN的方程為：，

直線PQ的方程為

設(shè)

由，消去可得---8分

由拋物線定義可知：

9分

由消去得，

從而                 10分

∴

令，∵則

則

=，所以=＞8           11分

所以四邊形PMQN面積的最小值為8                                  12分

考點(diǎn)：橢圓方程，軌跡方程

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了軌跡方程的求解，以及聯(lián)立方程組結(jié)合韋達(dá)定理來(lái)求解面積，屬于基礎(chǔ)題。