Question

已知偶函數(shù)f（x）在R上的任一取值都有導(dǎo)數(shù)，且f′（1）=1，f（x+2）=f（x-2），則曲線y=f（x）在x=-5處的切線的斜率為（ ）
A．2
B．-2
C．1
D．-1

Answer 1

【答案】分析：由ff（x+2）=f（x-2）得f（x+4）=f（x），再兩邊求導(dǎo)得f′（x+4）=f′（x），結(jié)合f（x）為偶函數(shù)，得到一個式子，對此式再兩邊求導(dǎo)，由此和條件可求即f′（-5）的值即為所求切線的斜率．
解答：解：由題意知，由f（x+2）=f（x-2），得f（x+4）=f（x），
∵f（x）在R上可導(dǎo)，
∴f′（x+4）（x+4）′=f′（x）（x）′，即f′（x+4）=f′（x）①，
∵f（x）為偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x），
∴f′（-x）（-x）′=f′（x），即f′（-x）=-f′（x）②，
∴f′（-5）=f′（-1）=-f′（1）=-1，即所求切線的斜率為-1，
故選D．
點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，以及函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是得出f′（x+4）=f′（x）和f′（-x）=-f′（x），是一道中檔題．