Question

等差數(shù)列{a_n}中首項(xiàng)為a₁，公差為d，前n項(xiàng)和為S_n，給出下列四個命題：
①數(shù)列{(

1

2

)an}為等比數(shù)列；
②若a₁₀=3，S₇=-7，則S₁₃=13；
③Sn=nan-

n(n-1)

2

d；
④若d＞0，則S_n一定有最大值．
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：由(

1

2

)an-1•(

1

2

)an+1=(

1

2

)2an=[(

1

2

)an]2，數(shù)列{(

1

2

)an}為等比數(shù)列；由a₁₀=3，S₇=-7，求出a₁和d，進(jìn)而得到S₁₃；nan-

n(n-1)

2

d=n[a1+(n-1)d] -

n(n-1)d

2

=na1+

n(n-1)d

2

=S_n；若d＞0，則S_n不一定有最大值．

解答：解：∵(

1

2

)an-1•(

1

2

)an+1=(

1

2

)2an=[(

1

2

)an]2，
∴數(shù)列{(

1

2

)an}為等比數(shù)列，故①成立；
∵

a1+9d=3 7a1+ 7×6 2 d=-7

，解得

a1=-3 d= 2 3

，
∴S13=13×(-3)+

13×12

2

=13，故②成立；
nan-

n(n-1)

2

d=n[a1+(n-1)d] -

n(n-1)d

2

=na1+

n(n-1)d

2

=S_n，故③成立；
若d＞0，則S_n不一定有最大值，故④不成立．
故答案：①②③．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意公式的合理運(yùn)用．