Question

已知橢圓的中心在原點，離心率，右焦點為.
（1）求橢圓的方程；
（2）設橢圓的上頂點為，在橢圓上是否存在點，使得向量與共線？若存在，求直線
的方程；若不存在，簡要說明理由.

Answer 1

（1）橢圓的方程為；（2）存在，且直線的方程為或.

解析試題分析：（1）先設橢圓的方程，利用離心率以及焦點坐標求出、、的值，進而確定橢圓的方程；（2）先設點的坐標為，利用向量與共線這一條件得到點的坐標之間所滿足的關系，并代入橢圓的方程解出點的坐標，然后確定直線的方程.
試題解析：（1）設橢圓的方程為，    1分
離心率，右焦點為，，，  3分
故橢圓的方程為．  4分
（2）假設橢圓上存在點（），使得向量與共線，  5分
，， （1）     6分
又點（）在橢圓上，  （2）   8分
由（1）、（2）組成方程組解得：，或，     11分
當點的坐標為時，直線的方程為，
當點的坐標為時，直線的方程為，
故直線的方程為或．    14分
考點：1.橢圓的方程；2.平面向量共線；3.直線的方程