Question

已知函數(shù)f（x）=2sinxcos（

π

2

-x）-2

3

sin（π+x）cosx
（1）求y=f（x）的最小正周期，并說明由函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的平移伸縮變換可得到函數(shù)y=f（x）的圖象？
（2）若0≤x≤

π

2

，求函數(shù)y=f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由二倍角的余弦公式和輔助角公式，化簡得2sin（2x-

π

6

）+1，再結(jié)合正弦函數(shù)周期公式可得周期T=π，再由三角函數(shù)圖象變換的公式，可得函數(shù)f（x）圖象由y=sinx的圖象經(jīng)過平移和伸縮變換的過程；
（2）根據(jù)題意，得到-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，再結(jié)合正弦函數(shù)圖象在區(qū)間[-

π

6

，

5π

6

]上的單調(diào)性，即可得到f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值與最小值．

解答：解：（1）∵cos（

π

2

-x）=sinx，sin（π+x）=-sinx，
∴f（x）=2sin²x+2

3

sinxcosx=1-cos2x+

3

sin2x=2sin（2x-

π

6

）+1，…（2分）
因此，f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，…（3分）
該函數(shù)f（x）圖象是由y=sinx的圖象先右移

π

6

個單位，然后縱坐標不變橫坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="3ptjxqt" class="MathJye">

1

2

，
然后橫坐標不變縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，最后上平移移1個單位而得．…（6分）
（2）∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，可得0≤2sin（2x-

π

6

）+1≤3…（9分）
∴函數(shù)y=f（x）的值域是[0，3]…（12分）

點評：本題給出三角函數(shù)式，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和周期，并求在閉區(qū)間上的值域，著重考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于基礎題．