Question

如圖，橢圓Q：（a>b>0）的右焦點(diǎn)F（c，0），過點(diǎn)F的一動(dòng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)，并且交橢圓于A、B兩點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)。

（1）求點(diǎn)P的軌跡H的方程；
（2）在Q的方程中，令a²=1+cosθ+sinθ，b²=sinθ（0＜θ≤），確定θ的值，使原點(diǎn)距橢圓的右準(zhǔn)線l最遠(yuǎn)，此時(shí)，設(shè)l與x軸交點(diǎn)為D，當(dāng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)到什么位置時(shí)，三角形ABD的面積最大？

Answer 1

解：如圖，（1）設(shè)橢圓Q：（a＞b＞0）上的點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），又設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，y），
則
1°當(dāng)AB不垂直x軸時(shí)，x₁≠x₂，
由（1）-（2）得b²（x₁-x₂）2x+a²（y₁-y₂）2y=0
∴
∴b²x²+a²y²-b²cx=0（3）；
2°當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，點(diǎn)P即為點(diǎn)F，滿足方程（3）
故所求點(diǎn)P的軌跡方程為：b²x²+a²y²-b²cx=0。
（2）因?yàn)椋瑱E圓Q右準(zhǔn)線l方程是x=，原點(diǎn)距l(xiāng)的距離為
由于c²=a²-b²，a²=1+cosθ+sinθ，b²=sinθ（0＜θ≤）
則==2sin（+）
當(dāng)θ=時(shí)，上式達(dá)到最大值。
此時(shí)a²=2，b²=1，c=1，D（2，0），|DF|=1
設(shè)橢圓Q：上的點(diǎn) A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
三角形ABD的面積S=|y₁|+|y₂|=|y₁-y₂|
設(shè)直線m的方程為x=ky+1，代入中，得
（2+k²）y²+2ky-1=0
由韋達(dá)定理得y₁+y₂=，y₁y₂=

令t=k²+1≥1，得
當(dāng)t=1，k=0時(shí)取等號
因此，當(dāng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)到垂直x軸位置時(shí)，三角形ABD的面積最大。