Question

【題目】已知函數(shù)，曲線在點處的切線與直線垂直（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（I）求的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；

（II）是否存在常數(shù)，使得對于定義域內(nèi)的任意恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）遞減區(qū)間為和，增區(qū)間為.（2）

【解析】試題分析：

(1)利用切線的斜率求得 即可確定函數(shù)的解析式，然后結合函數(shù)的導函數(shù)和定義域即可確定函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和, 函數(shù)的的單調(diào)增區(qū)間為.

(2)問題等價于，分別討論 和 兩種情況可得： .

試題解析：

（1）， ，

由題意有： 即： ，

，由 或，

函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和

由 ， 函數(shù)的的單調(diào)增區(qū)間為.

（2）要恒成立，即

①當時， ，則要： 恒成立，

令，則，

再令，則，所以在單調(diào)遞減，

， ， 在單調(diào)遞增，

，

②當時， ，則要恒成立，

由①可知，當時， ， 在單調(diào)遞增，

當時， ， ，

在單調(diào)遞增， ，

綜合①，②可知： ，即存在常數(shù)滿足題意.