Question

已知數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)和S_n+1=2λS_n+1 （λ是大于0的常數(shù)），且a₁=1，a₃=4．
（1）求λ的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（3）若bn=2+lo

g	1 |an| 1 2

，n∈N^*，n∈R，設(shè)T_n為數(shù)列

1

n(bn+1)

的前n項(xiàng)和，求證：T_n＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）由S_n+1=2λS_n+1，知a₃=S₃-S₂=4λ²，再由a₃=4，λ＞0，能求出λ．
（2）由S_n+1=2λS_n+1，得S_n+1+1=2（S_n+1），故數(shù)列{S_n+1}是以S₁+1=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以Sn=2n-1，由此能求出an=2n-1（n∈N^*）．
（3）由bn=2+2log

1

2

|

1

an

|=2+2log₂a_n=n+1．知

1

n(bn+1)

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，由此利用裂項(xiàng)求法和能證明數(shù)列

1

n(bn+1)

的前n項(xiàng)和Tn＜

3

4

．

解答：解：（1）由S_n+1=2λS_n+1，
得S₂=2λS₁+1=2λa₁+1=2λ+1，
S₃=2λS₂+1=4λ²+2λ+1，
∴a₃=S₃-S₂=4λ²，
又∵a₃=4，λ＞0，∴λ=1．
（2）由S_n+1=2λS_n+1，得S_n+1+1=2（S_n+1），
∴數(shù)列{S_n+1}是以S₁+1=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
∴Sn+1=2•2n-1，∴Sn=2n-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=2^n-1．n≥2
∵當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1滿足an=2n-1，∴an=2n-1（n∈N^*）．
（3）∵bn=2+2log

1

2

|

1

an

|
=2+2log₂a_n
=log2(4•2n-1)
=log22n+1
=n+1．
∴

1

n(bn+1)

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴數(shù)列

1

n(bn+1)

的前n項(xiàng)和：
T_n=

1

1×3

+

1

2×4

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n-1

-

1

n+1

）+（

1

n

-

1

n+2

）]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
＜

1

2

(1+

1

2

)=

3

4

，
∵T₁=

1

3

＜

3

4

，
∴Tn＜

3

4

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的證明和不等式證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意迭代法、構(gòu)造法和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．