Question

在直角梯形中，，，，如圖，把沿翻折，使得平面平面．

（1）求證：；

（2）若點為線段中點，求點到平面的距離；

（3）在線段上是否存在點，使得與平面所成角為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1)證明過程詳見解析;（2） （3）存在

【解析】

試題分析：

（1）據題意，要證明，由線面垂直的性質例一得到只需要證明DC面ABD，又有面ABD與面BCD垂直，故根據面面垂直的性質，只需要證明DC垂直于面ABD與面BCD的交線BD,DC與BC垂直的證明可以放在直角梯形中利用勾股定理與余弦定理證明，三角形BCD為直角三角形.

（2）由（1）得平面，所以．以點為原點，所在的直線為軸，所在直線為軸，利用三維空間直角坐標系即可求的點面距離，即首先求出線段MC與面ADC的法向量的夾角，再利用三角函數值即可求的點面距離.此外，該題還可以利用等體積法來求的點面距離，即三棱錐M-ADC的體積，分別以M點為頂點和以A點為定點來求解三棱錐的體積，解出高即為點面距離.

（3）該問利用坐標法最為簡潔，在第二問建立的坐標系的基礎上，設,，利用來表示N點的坐標，求出面ACD的法向量，法向量與AN所成的夾角即為與平面所成角為的余角，利用該條件即可求出的值，進而得到N點的位置.

試題解析：

（1）證明：因為，

，，所以，， 1分

， 2分

，所以 3分．

因為平面平面,平面平面，

所以平面 4分．

又平面，所以 5分．

（2）解法1：因為平面，所以．以點為原點，所在的直線為軸，所在直線為軸,過點作垂直平面的直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖．由已知，得，，，，．所以，，． 7分．設平面的法向量為，則，，所以令，得平面的一個法向量為 9分

所以點到平面的距離為 10分．

解法2：由已知條件可得，，所以．

由（1）知平面，即為三棱錐的高，

又，所以 7分．

由平面得到，設點到平面的距離為，

則 8分．

所以，， 9分．

因為點為線段中點，所以點到平面的距離為 10分．

解法3：因為點為線段的中點，所以點到平面的距離等于點到平面的距離的． 6分 由已知條件可得，由（I）知,又，

所以平面， 8分

所以點到平面的距離等于線段的長． 9分

因為，所以點到平面的距離等于． 10分

（3）假設在線段上存在點，使得與平面所成角為 11分．

設,，，則，所以，． 12分

又平面的一個法向量為，且直線與平面所成的角為，

所以， 即，

可得， 解得或（舍去）． 13分

綜上所述，在線段上是否存在點，使得與平面所成角為，

此時． 14分．

考點：垂直 等體積法 三維空間直角坐標系