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        1. (2012•河南模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,底面ABCD為矩形,AD=2AB=2PA,E為PD的上一點,且PE=2ED,F(xiàn)為PC的中點.
          (Ⅰ)求證:BF∥平面AEC;
          (Ⅱ)求二面角E-AC-D的余弦值.
          分析:(Ⅰ)建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,設(shè)B(1,0,0),則D(0,2,0),P(0,0,1),C(1,2,0),E(0,
          4
          3
          ,
          1
          3
          )
          ,F(
          1
          2
          ,1,
          1
          2
          )
          .設(shè)平面AEC的一個法向量為
          n
          =(x,y,z)
          ,由
          AE
          =(0,
          4
          3
          ,
          1
          3
          )
          ,知
          AC
          =(1,2,0)
          ,由
          4
          3
          y+
          1
          3
          z=0
          x+2y=0
          ,得
          n
          =(2,-1,4)
          ,由此能夠證明BF∥平面AEC.
          (Ⅱ)由(Ⅰ)知平面AEC的一個法向量為
          n
          =(2,-1,4)
          ,由
          AP
          =(0,0,1)
          為平面ACD的法向量,能求出二面角E-AC-D的余弦值.
          解答:解:建立如圖所示空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,
          設(shè)B(1,0,0),則D(0,2,0),P(0,0,1),C(1,2,0)E(0,
          4
          3
          1
          3
          )
          ,F(
          1
          2
          ,1,
          1
          2
          )
          (2分)
          (Ⅰ)設(shè)平面AEC的一個法向量為
          n
          =(x,y,z)

          AE
          =(0,
          4
          3
          ,
          1
          3
          )
          ,
          AC
          =(1,2,0)
          ,
          ∴由
          n
          AE
          =0
          n
          AC
          =0
          ,
          4
          3
          y+
          1
          3
          z=0
          x+2y=0
          ,
          令y=-1,得
          n
          =(2,-1,4)
          (4分)
          BF
          =(-
          1
          2
          ,1,
          1
          2
          )
          ,
          BF
          n
          =2×(-
          1
          2
          )+(-1)×1+4×
          1
          2
          =0
          ,(5分)
          BF
          n
          ,BF?平面AEC,
          ∴BF∥平面AEC.(7分)
          (Ⅱ)由(Ⅰ)知平面AEC的一個法向量為
          n
          =(2,-1,4)
          ,
          AP
          =(0,0,1)
          為平面ACD的法向量,(8分)
          cos<
          n
          ,
          AP
          >=
          n
          AP
          |
          n
          ||
          AP
          |
          =
          4
          21
          21
          ,(11分)
          故二面角E-AC-D的余弦值為
          4
          21
          21
          (12分)
          點評:本題考查直線與平面平行的證明,考查二面角的余弦值的求法,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.
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          i
          1+i
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