Question

高二、一班4名同學(xué)與高二、二班3名同學(xué)共7人，組隊參加某個比賽，組長為一班的甲同學(xué)，副組長為二班的乙同學(xué)．比賽結(jié)束后站成一排照相，試分別求出符合下列要求的排法種數(shù)．
（1）甲、乙兩同學(xué)相鄰；
（2）一班的同學(xué)與二班的同學(xué)間隔排列；
（3）最高的一位同學(xué)站中間，兩邊的同學(xué)由高到低（中間向兩端方向）站列．

Answer 1

分析：（1）用捆綁法，先將甲、乙兩同學(xué)合為一個“元素”，考慮甲、乙的順序，再連同其余5人共6個“元素”任意排列，由分步計數(shù)原理，即可得答案；
（2）用插空法，一班4名同學(xué)之間有三個“空隙”，分析可得一班的同學(xué)與二班的同學(xué)間隔排列只能是二班的同學(xué)站在三個“空隙”位置上，由分步計數(shù)原理計算可得答案；
（3）先安排最高的同學(xué)站中間，在從剩余的6位同學(xué)中選出3位同學(xué)，由高到低站在其右側(cè)，余下的三名同學(xué)由高到低站在其左側(cè)即可，由組合數(shù)公式，計算可得答案．

解答：解：（1）先將甲、乙兩同學(xué)合為一個“元素”，甲乙之間有A₂²種不同的順序，
連同其余5人共6個“元素”任意排列，有A₆⁶種不同的情況，
由分步計數(shù)原理，共有

A

6 6

•

A

2 2

=1440種不同的排法．
（2）先將一班4名同學(xué)排好，有A₄⁴種情況，4名同學(xué)之間有三個“空隙”，
因此一班的同學(xué)與二班的同學(xué)間隔排列只能是二班的同學(xué)站在三個“空隙”位置上，有A₃³種情況，
由分步計數(shù)原理共有

A

4 4

•

A

3 3

=72種不同的排法．
（3）先安排最高的同學(xué)站中間，在從剩余的6位同學(xué)中選出3位同學(xué)，由高到低站在其右側(cè)，余下的三名同學(xué)由高到低站在其左側(cè)即可．
因此共有

C

3 6

=

6×5×4

3×2×1

=20種不同的排法．

點評：本題考查排列、組合及簡單計數(shù)問題，關(guān)鍵是熟練掌握計數(shù)原理及排列組合的公式，掌握常見題型的處理方法，如本題中綁定法，插空法．