Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（3-ax）．
（1）當x∈[0，

3

2

]時，函數(shù)f（x）恒有意義，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）是否存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，3]上為增函數(shù)，并且f（x）的最大值為1．如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意，即要考慮到當x∈[0，

3

2

]時，3-ax＞0恒成立，轉化成恒成立問題，利用復合函數(shù)的單調性即可求出實數(shù)a的取值范圍；
（2）假設存在這樣的實數(shù)，再根據(jù)f（x）是增函數(shù)，并且f（x）的最大值為1，即可求出a的值．

解答：解：（1）設t=3-ax，
∵a＞0，且a≠1，則t=3-ax為R上的減函數(shù)，
∴x∈[0，

3

2

]時，t的最小值為3-

3

2

a，
又∵當x∈[0，

3

2

]，f（x）恒有意義，即t＞0對x∈[0，

3

2

]恒成立，
∴t_min＞0，即3-

3

2

a＞0，
∴a＜2，又a＞0，且a≠1，
∴實數(shù)a的取值范圍為（0，1）∪（1，2）．
（2）令t=3-ax，則y=log_at，
∵a＞0，則函數(shù)t（x）為R上的減函數(shù)，
又∵f（x）在區(qū)間[2，3]上為增函數(shù)，
∴y=log_at為減函數(shù)，
∴0＜a＜1，
∴當x∈[2，3]時，t（x）最小值為3-3a，即此時f（x）最大值為log_a（3-3a），
由題意可知，f（x）的最大值為1，
∴l(xiāng)og_a（3-3a）=1，
∴

3-3a＞0 loga(3-3a)=1

，即

a＜1 a= 3 4

，
∴a=

3

4

，
故存在實數(shù)a=

3

4

，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，3]上為增函數(shù)，并且f（x）的最大值為1．

點評：本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的定義域、單調性的應用、函數(shù)單調性的性質、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力．對于是否存在問題，一般假設存在，推出結論．屬于基礎題．