Question

等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差d=-1，前n項(xiàng)和為S_n，其中a₁∈{-1，1，2}
（I ）若存在n∈N，使S_n=-5成立，求a₁的值；．
（II）是否存在a₁，使S_n＜a_n對(duì)任意大于1的正整數(shù)n均成立？若存在，求出a₁的值；否則，說明理由．

Answer 1

分析：（I ）由條件得Sn=-

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n2+(a1+

1

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)n=-5，整理得：n²-（2a₁+1）n-10=0，由于n∈N，所以其判別式必定是完全平方數(shù)，又a₁∈{-1，1，2}，一一代入驗(yàn)證即可．
（II）由S_n＜a_n，代入得-

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n2+(a1+

1

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)n＜a1+1-n，化簡即可得．

解答：解：（I ）由條件得Sn=-

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n2+(a1+

1

2

)n=-5，整理得：n²-（2a₁+1）n-10=0，
∴△=（2a₁+1）²+40是完全平方數(shù)，∵a₁∈{-1，1，2}，
∴a₁=1，此時(shí)n=5
（II）由S_n＜a_n，代入得-

1

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n2+(a1+

1

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)n＜a1+1-n，∴(n-1)a1＜

1

2

(n-1)(n-2)，∵n＞1，∴a1＜

1

2

(n-2)，∴a₁＜0
故存在a₁=-1，使S_n＜a_n對(duì)任意大于1的正整數(shù)n均成立．

點(diǎn)評(píng)：數(shù)列與不等式恒成立問題結(jié)合起來，能有效考查學(xué)生的邏輯思維能力和靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想．