Question

8、設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，且對任意實數(shù)x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）．求證：
（1）f（x）是奇函數(shù)；
（2）若當(dāng)x＞0時，有f（x）＞0，則f（x）在R上是增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）判斷f（x）奇偶性，即找出f（-x）與f（x）之間的關(guān)系，∴令y=-x，有f（0）=f（x）+f（-x），故問題轉(zhuǎn)化為求f（0）即可，可對x、y都賦值為0；
（2）依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，充分利用條件當(dāng)x＞0時，有f（x）＞0與f（x+y）=f（x）+f（y），即可判定單調(diào)性．

解答：解：（1）顯然f（x）的定義域是R，關(guān)于原點對稱．
又∵函數(shù)對一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，得f（0）=2f（0），∴f（0）=0．
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)．
（2）任取x₁＜x₂，x₂-x₁＞0，則f（x₂-x₁）＞0
∴f（x₂）+f（-x₁）＞0；
對f（x+y）=f（x）+f（y）取x=y=0得：f（0）=0，
再取y=-x得f（x）+f（-x）=0即f（-x）=-f（x），
∴有f（x₂）-f（x₁）＞0
∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在R上遞增．

點評：本題考點是抽象函數(shù)及其性質(zhì)，在研究其奇偶性時本題采取了連續(xù)賦值的技巧，這是判斷抽象函數(shù)性質(zhì)時常用的一種探究的方式，屬于中檔題．