Question

【題目】已知函數f（x）=log3（9x+1）+mx為偶函數，g（x）= 為奇函數．
（Ⅰ）求m﹣n的值；
（Ⅱ）若函數y=f（x）與 的圖象有且只有一個交點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函數f（x）=log3（9x+1）+mx為偶函數，∴f（﹣x）=f（x），則log3（9﹣x+1）﹣mx=log3（9x+1）+mx，
即2mx=log3（9﹣x+1）﹣log3（9x+1）
又右邊=log3 ﹣log3（9x+1）=log39﹣x=log33﹣2x=﹣2x，
∴2mx=﹣2x，解得m=﹣1，
∵g（x）= 為奇函數．
∴g（0）=0，則g（0）= =0，解得n=﹣1，
∴m﹣n=0，即m﹣n的值0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=log3（9x+1）﹣x，g（x）= ，
則 =log3（ + ﹣4）+log3a
=log3（3x﹣4）+log3a=log3（3x﹣4）a，
∴y=log3（3x﹣4）a，且（a＞0，3x＞4）
即f（x）=log3（9x+1）﹣x與y=log3（3x﹣4）a的圖象有且只有一個交點，
∴l(xiāng)og3（9x+1）﹣x=log3（3x﹣4）a有且僅有一個解，
∵log3（9x+1）﹣x=log3（9x+1）﹣log33x= ，
∴3x+ =（3x﹣4）a有且僅有一解，
設t=3x ， t＞4，代入上式得， ，
則a= = ，令y= ，
則y′=
= ，
∵函數y=﹣2t2﹣t+2在（4，+∞）上遞減，且y＜0，
∴y′＜0，則函數y= 在（4，+∞）上遞減，
∴函數y= 在（4，+∞）上的值域是（0，+∞），
故實數a的取值范圍是a＞0
【解析】（Ⅰ）根據題意和函數奇偶性的性質分別列出方程，求出m和n的值，即可求出m﹣n的值；（Ⅱ）由（I）和對數的運算性質化簡條件中的函數y，由對數函數的性質求出變量的范圍，利用換元法構造函數，由導數與函數的單調性關系，判斷出函數的單調性，并求出函數的值域，從而求出實數a的取值范圍．
【考點精析】通過靈活運用函數奇偶性的性質，掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇即可以解答此題．