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        1. 設(shè)F1、F2分別是橢圓數(shù)學(xué)公式的左、右焦點,P為橢圓上的任意一點,滿足|PF1|+|PF2|=8,△PF1F2的周長為12.
          (1)求橢圓的方程;
          (2)求數(shù)學(xué)公式的最大值和最小值;
          (3)已知點A(8,0),B(2,0),是否存在過點A的直線l與橢圓交于不同的兩點C,D.使得|BC|=|BD|?若存在,求直線l的方程;若不存在,請說明理由.

          解:(1)由題設(shè),2a=8,2a+2c=12,∴a=4,c=2,∴b2=a2-c2=12,∴橢圓的方程為
          (2)由(1)知F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),設(shè)P(x,y),則=(-2-x,-y)•(2-x,-y)=x2+y2-4=
          ∵x∈[-4,4],∴x2∈[0,16],∴
          當且僅當點P為短軸端點時,有最小值8;點P為長軸端點時,有最大值12.
          (3)當直線l的斜率不存在時,直線l與橢圓無交點,所以直線l的斜率存在,不妨設(shè)為k,則直線l的方程為y=k(x-8)
          由方程組,消元得(4k2+3)x2-64k2x+16(16k2-3)=0
          ∵過點A的直線l與橢圓交于不同的兩點C,D,
          ∴△=642k4-64(4k2+3)(16k2-3)>0

          設(shè)交點C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中點為T(x0,y0
          ∴x1+x2=,
          ∴T(
          ∵|BC|=|BD|,∴BT⊥CD

          ,方程無解
          ∴不存在過點A的直線l與橢圓交于不同的兩點C,D,使得|BC|=|BD|.
          分析:(1)利用|PF1|+|PF2|=8,△PF1F2的周長為12,可得2a=8,2a+2c=12,從而可求橢圓的方程;
          (2)由(1)知F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),設(shè)P(x,y),則=(-2-x,-y)•(2-x,-y)=x2+y2-4=,根據(jù)x∈[-4,4],可得x2∈[0,16],從而可求的最大值和最小值;
          (3)直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=k(x-8),與橢圓方程聯(lián)立,消元得一元二次方程,從而可求CD的中點的坐標,利用|BC|=|BD|,可得BT⊥CD,從而可建立方程,故可解.
          點評:本題考查橢圓的標準方程,考查向量知識的運用,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查探究性問題,通常假設(shè)存在,從而問題得解.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          短軸長為2,P(x0,y0)(x0≠±a)是橢圓上一點,A,B分別是橢圓的左、右頂點,直線PA,PB的斜率之積為-
          1
          4

          (1)求橢圓的方程;
          (2)當∠F1PF2為鈍角時,求P點橫坐標的取值范圍;
          (3)設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓的左右焦點,M、N是橢圓右準線l上的兩個點,若
          F1M
          F2N
          =0
          ,求MN的最小值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (09年豐臺區(qū)二模)(14分)

          設(shè)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點。

             (I)若M是該橢圓上的一個動點,求的最大值和最小值;

              (II)設(shè)過定點(0,2)的直線l與橢圓交于不同兩點A、B,且∠AOB為鈍角(其中O為坐標原點),求直線l的斜率k的取值范圍。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點,P為橢圓上一點,M是F1P的中點,|OM|=3,則P點到橢圓左焦點距離為                           .

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆江西省高二第四次月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題

          設(shè)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點,P為橢圓上任一點,點M的坐標為(6,4),則|PM|+|PF1|的最大值為_______

           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高三上學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)卷 題型:選擇題

          設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點,P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點,且,求點P的橫坐標為(    )

          A.1                B.               C.             D.

           

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