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        1. 設(shè)F1、F2分別是橢圓數(shù)學(xué)公式的左、右焦點(diǎn),P為橢圓上的任意一點(diǎn),滿足|PF1|+|PF2|=8,△PF1F2的周長(zhǎng)為12.
          (1)求橢圓的方程;
          (2)求數(shù)學(xué)公式的最大值和最小值;
          (3)已知點(diǎn)A(8,0),B(2,0),是否存在過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C,D.使得|BC|=|BD|?若存在,求直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

          解:(1)由題設(shè),2a=8,2a+2c=12,∴a=4,c=2,∴b2=a2-c2=12,∴橢圓的方程為;
          (2)由(1)知F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),設(shè)P(x,y),則=(-2-x,-y)•(2-x,-y)=x2+y2-4=
          ∵x∈[-4,4],∴x2∈[0,16],∴
          當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時(shí),有最小值8;點(diǎn)P為長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí),有最大值12.
          (3)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l與橢圓無(wú)交點(diǎn),所以直線l的斜率存在,不妨設(shè)為k,則直線l的方程為y=k(x-8)
          由方程組,消元得(4k2+3)x2-64k2x+16(16k2-3)=0
          ∵過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C,D,
          ∴△=642k4-64(4k2+3)(16k2-3)>0

          設(shè)交點(diǎn)C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中點(diǎn)為T(mén)(x0,y0
          ∴x1+x2=,,
          ∴T(
          ∵|BC|=|BD|,∴BT⊥CD

          ,方程無(wú)解
          ∴不存在過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C,D,使得|BC|=|BD|.
          分析:(1)利用|PF1|+|PF2|=8,△PF1F2的周長(zhǎng)為12,可得2a=8,2a+2c=12,從而可求橢圓的方程;
          (2)由(1)知F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),設(shè)P(x,y),則=(-2-x,-y)•(2-x,-y)=x2+y2-4=,根據(jù)x∈[-4,4],可得x2∈[0,16],從而可求的最大值和最小值;
          (3)直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=k(x-8),與橢圓方程聯(lián)立,消元得一元二次方程,從而可求CD的中點(diǎn)的坐標(biāo),利用|BC|=|BD|,可得BT⊥CD,從而可建立方程,故可解.
          點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查向量知識(shí)的運(yùn)用,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查探究性問(wèn)題,通常假設(shè)存在,從而問(wèn)題得解.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          短軸長(zhǎng)為2,P(x0,y0)(x0≠±a)是橢圓上一點(diǎn),A,B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn),直線PA,PB的斜率之積為-
          1
          4

          (1)求橢圓的方程;
          (2)當(dāng)∠F1PF2為鈍角時(shí),求P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍;
          (3)設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓的左右焦點(diǎn),M、N是橢圓右準(zhǔn)線l上的兩個(gè)點(diǎn),若
          F1M
          F2N
          =0
          ,求MN的最小值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (09年豐臺(tái)區(qū)二模)(14分)

          設(shè)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)。

             (I)若M是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求的最大值和最小值;

              (II)設(shè)過(guò)定點(diǎn)(0,2)的直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)A、B,且∠AOB為鈍角(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的斜率k的取值范圍。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          設(shè)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),M是F1P的中點(diǎn),|OM|=3,則P點(diǎn)到橢圓左焦點(diǎn)距離為                           .

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014屆江西省高二第四次月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題

          設(shè)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),P為橢圓上任一點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,4),則|PM|+|PF1|的最大值為_(kāi)______

           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高三上學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)卷 題型:選擇題

          設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn),且,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為(    )

          A.1                B.               C.             D.

           

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          同步練習(xí)冊(cè)答案