Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求的圖像在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求在區(qū)間上的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）先求出,再求出的值可得切點(diǎn)坐標(biāo)，求出的值，可得切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得當(dāng)時， 遞增；當(dāng)時遞減；可得所以， .

試題解析：（1），

所以

則.又，所以的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.

（2）由（1）知.

因為與都是區(qū)間上的增函數(shù)，所以是上的增函數(shù).

又，所以當(dāng)時， ，即，此時遞增；

當(dāng)時，即，此時遞減；

又， ， .

所以， .

所以在區(qū)間的取值范圍為

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn) 出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時，在 處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點(diǎn)斜式求得切線方程.