Question

（2008•寶山區(qū)二模）已知直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面四邊形ABCD是一個直角梯形，上底邊長BC=2，下底邊長AD=6，直角邊所在的腰AB=2，體積V=32．求異面直線B₁D 與AC₁所成的角α（用反三角函數(shù)表示）．

Answer 1

分析：設(shè)棱柱的高為h，然后根據(jù)體積求出高，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以

AB

、

AD

、

AA1

所在的直線為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系，求出

AC1

與

DB1

，最后利用公式cosα=

/ AC1 • DB1 /

/ AC1 ∥ DB1 |/

進(jìn)行求解即可．

解答：解：設(shè)棱柱的高為h，由V=32易求h=4．…（4分）
如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以

AB

、

AD

、

AA1

所在的直線為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系，…（5分）
則C₁ （2，2，4）、B₁（2，0，4）、D（0，6，0）．

AC1

=(2，2，4)，

DB1

=(2，-6，4)，…（8分）
cosα=

/ AC1 • DB1 /

/ AC1 ∥ DB1 |/

=

1

21

，…（11分）
所以α=arccos

1

21

．…（12分）

點(diǎn)評：本小題主要考查異面直線所成的角，一利用空間向量解立體問題，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．