Question

已知函數(shù)f(x)=x2+

1

2

alnx，a∈R．
（1）若a=-4，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)g(x)=

1

2

-cos2x，試問：在定義域內(nèi)是否存在三個(gè)不同的自變量的取值x_i（i=1，2，3）使得f（x_i）-g（x_i）的值恰好都相等，若存在，請(qǐng)求出a的范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由？

Answer 1

分析：（1）由a=-4，f′(x)=2x-

2

x

=

2(x2-1)

x

，由此能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）若定義域內(nèi)存在三個(gè)不同的自變量的取值x_i（i=1，2，3），使得f（x_i）-g（x_i）的值恰好都相等，設(shè)f（x_i）-g（x_i）=m．（i=1，2，3），則對(duì)于某一實(shí)數(shù)m，方程f（x）-g（x）=m在（0，+∞）上有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)，由此能求出在定義域內(nèi)不存在三個(gè)不同的自變量的取值x_i（i=1，2，3）使得f（x_i）-g（x_i）的值恰好都相等．

解答：解：（1）∵f(x)=x2+

1

2

alnx，a∈R．
∴f′(x)=2x+

a

2x

，
∵a=-4，∴f′(x)=2x-

2

x

=

2(x2-1)

x

，
由x＞0，f′（x）=0，得x=1．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1），單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）．
（2）若定義域內(nèi)存在三個(gè)不同的自變量的取值x_i（i=1，2，3），
使得f（x_i）-g（x_i）的值恰好都相等，
設(shè)f（x_i）-g（x_i）=m．（i=1，2，3），
則對(duì)于某一實(shí)數(shù)m，方程f（x）-g（x）=m在（0，+∞）上有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)，
設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=x²+

1

2

alnx-（

1

2

-cos2x），
=x²+

1

2

alnx+

1

2

cos2x，
則F′(x)=2x+

a

2x

-sinx，x＞0至少有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
即a=-（4x²-2xsin2x），x＞0至少有兩個(gè)不同的解，
設(shè)G（x）=4x²-2xsin2x，x＞0
則G′（x）=8x-2sin2x-4xcos2x
=2（2x-sin2x）+4x（1-cos2x），
設(shè)h（x）=2x-sin2x，
則h′（x）=2-2cos2x≥0，
故h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
則當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）＞h（0）=0，
即2x＞sin2x，
又1-cos2x＞0，
則G′（x）＞0，故G（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
a=-（4x²-2xsin2x），x＞0至多只有一個(gè)解，故不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法．綜合性強(qiáng)，難度大，具有一定的探索性．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．