Question

（本題滿分12分）

已知橢圓、拋物線的焦點均在軸上，的中心和的頂點均為原點，從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于下表中：

	3	2	4
		0	4

（Ⅰ）求的標準方程；

（Ⅱ）請問是否存在直線滿足條件：①過的焦點；②與交不同兩點且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)拋物線，則有，據(jù)此驗證個點知（3，）、（4，4）在拋物線上，易求      ………………2分

       設(shè)：，把點（2，0）（，）代入得：

     解得

∴方程為  ………………………………………………………………5分

（Ⅱ）法一：

假設(shè)存在這樣的直線過拋物線焦點，設(shè)直線的方程為兩交點坐標為，

       由消去，得_{…………………………7分}

       ∴     ①

            ②      ………………………9分

       由，即，得

將①②代入（*）式，得， 解得  …………………11分

所以假設(shè)成立，即存在直線滿足條件，且的方程為：或…………………………………………………………………………………12分

法二：容易驗證直線的斜率不存在時，不滿足題意；……………………………6分

當(dāng)直線斜率存在時，假設(shè)存在直線過拋物線焦點，設(shè)其方程為，與的交點坐標為

由消掉，得 ，  …………8分

于是 ，    ①

即   ② ………………………………10分

由，即，得

將①、②代入（*）式，得  ，解得；……11分

所以存在直線滿足條件，且的方程為：或．………12分