Question

下面有五個(gè)命題：
①扇形的中心角為

2π

3

，弧長(zhǎng)為2π，則其面積為3π；
②終邊在y軸上的角的集合是{a|a=

kπ

2

，k∈Z}；
③已知角α 的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-5，12），則sinα+2cosα的值為

2

13

；
④函數(shù)y=sin（x-

π

2

）在（0，π）上是減函數(shù)；
⑤已知ω＞0，函數(shù)f（x）=sin（ωx+

π

4

）在（

π

2

，π）上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是[

1

2

，

5

4

]．
其中真命題的序號(hào)是

①③⑤

．

Answer 1

分析：①由弧長(zhǎng)公式α=

L

R

弧度可得半徑R，由扇形的面積公式可得：S=

1

2

LR；
②對(duì)k分奇數(shù)、偶數(shù)討論即可；
③根據(jù)點(diǎn)P（-5，12）求出OP的長(zhǎng)；再結(jié)合任意角的三角函數(shù)的定義即可求出結(jié)論．
④利用誘導(dǎo)公式先進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而可判斷出是否正確．
⑤通過(guò)角的范圍，直接推導(dǎo)ω的范圍即可．

解答：解：①由弧長(zhǎng)公式l=aR可得：α=

L

R

=（弧度），從而R=

L

α

=

2π

2π 3

=3．
由扇形的面積公式可得：S=

1

2

LR=

1

2

×2π×3=3π，故①正確．
②當(dāng)k=2n（n為偶數(shù)）時(shí)，a=

2nπ

2

=nπ，表示的是終邊在x軸上的角，故②不正確；
③：∵x=-5，y=12，r=|OP|=13，∴sinα+2cosα=

12

13

+2×

-5

13

=

2

13

．故③正確；
④∵函數(shù)y=sin（x-

π

2

）=-cosx，又函數(shù)y=cosx在區(qū)間（0，π）上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)y=sin（x-

π

2

）=-cosx在區(qū)間（0，π）是單調(diào)遞增，故④不正確．
⑤ω（π-

π

2

）≤π?ω≤2，（ωx+

π

4

）∈[

π

2

ω+

π

4

，πω+

π

4

]?[

π

2

，

3π

2

]
得：

π

2

ω+

π

4

≥

π

2

，πω+

π

4

≤

3π

2

?

1

2

≤ω≤

5

4

．正確．
故答案為：①③⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查了三角函數(shù)的單調(diào)性、扇形的面積公式，利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)等．