Question

對于函數(shù)y=f(x)，如果存在一個正的常數(shù)a，使得定義域D內(nèi)的任意兩個不等的值x₁、x₂都有|f(x₁)-f(x₂)|≤a|x₁-x₂|成立，則稱函數(shù)y=f(x)為D上的利普希茨I類函數(shù).已知函數(shù)f(x)=x²-1(x≥1)的圖象是C₁，函數(shù)y=g(x)的圖象C₂與C₁關(guān)于直線y=x對稱.

(1)求函數(shù)y=g(x)的解析式及定義域M；

(2)證明：函數(shù)y=g(x)為M上的利普希茨I類函數(shù)；

(3)若A、B為C₂上兩點(diǎn)，求證：直線AB與直線y=x相交.

Answer 1

答案：(1)解：∵函數(shù)y=g(x)的圖象C₂與C₁關(guān)于直線y=x對稱，∴y=f(x)與y=g(x)互為反函數(shù).∴y=g(x)的解析式為g(x)=，定義域M為\[0，+∞).                      

(2)證明：對任意的x₁,x₂∈M，且x₁≠x₂,x₁≥0,x₂≥0,

則|g(x₁)-g(x₂)|=|x₁-x₂|，

所以函數(shù)y=g(x)為M上的利普希茨I類函數(shù).

(3)證明：設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)是曲線C₂上不同兩點(diǎn)，x₁,x₂∈M，且x₁≠x₂，由(2)知，

|k_AB|=||=||＜＜1，所以直線AB的斜率k_AB≠1，而直線y=x的斜率為1，∴它們相交.