Question

已知函數(shù)
（1）a＞1，解關于x的方程f（x）=3．
（2）記函數(shù)g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞），若g（x）的最值與a無關，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）令=3，對x的范圍分類進行討論求解即可．求解本題宜分為兩類，分別為x≥0時與x＜0時．
（2） 按a＞1，與0＜a＜1分兩類對函數(shù)的最值進行討論，求出最值，若最值與參數(shù)無關，則此時的a的范圍即所求．
解答：解：（1）令=3
當x≥0時，方程變?yōu)閍^2x-3a^x+2=0，解得a^x=1或a^x=2，可得=0或log_a2
 當x＜0時，方程變?yōu)?+2=3a^x，解得x=0故此類下無解．
  綜上 x=0或log_a2（4分）；
（2）由題設，g（x）=a^|x|+2a^x，x∈[-2，+∞），下分類討論：
①若a＞1，則
（ⅰ）當x≥0時，a^x≥1，g（x）=3a^x，∴g（x）∈[3，+∞）
（ⅱ）-2≤x＜0時，，g（x）=a^-x+2a^x
∴g'（x）=-a^-xlna+2a^xlna=
從而當即時，對?x∈（-2，0），g'（x）＞0，
∴g（x）在[-2，0）上遞增
∴g（x）∈，由此g（x）有最小值與a有關，不符合．
當即時，由g'（x）=0得
則時，g'（x）＜0；時，g'（x）＞0
∴g（x）在上遞減，在上遞增，∴g（x）_min==
g（x）有最小值為與a無關，符合要求（6分）
②若0＜a＜1，則
（�。﹛≥0時，0＜a^x≤1，g（x）=3a^x，∴g（x）∈（0，3]
（ⅱ）-2≤x＜0時，，g（x）=a^-x+2a^x，
∴g'（x）=-a^-xlna+2a^xlna=＜0，∴g（x）在[-2，0）上遞減，
∴g（x）∈，由此g（x）有最大值與a有關，不符合
綜上：實數(shù)a的取值范圍是（6分）．
點評：本題的考點是指數(shù)函數(shù)的綜合題，考查解指數(shù)方程與指數(shù)函數(shù)下的恒成立問題求參數(shù)，在第二小題的求解中，由于參數(shù)a的取值范圍不同，轉化的結果不同，故采取了分類討論的方式來探究本題，此題難度較大，是訓練復雜邏輯推理的一道好題，很好地訓練了分類討論的思想與轉化化歸的思想．