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				已知函數(shù)f(x)=
          x
          1
          3
          -x-
          1
          3
          5
          ，g(x)=
          x
          1
          3
          +x-
          1
          3
          5
          ；
          （Ⅰ）證明f（x）是奇函數(shù)；
          （Ⅱ）證明f（x）在（-∞，-1）上單調遞增；
          （Ⅲ）分別計算f（4）-5f（2）•g（2）和f（9）-5f（3）•g（3）的值，由此概括出涉及函數(shù)f（x）和g（x）的對所有不等于零的實數(shù)x都成立的一個等式，并加以證明．			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：（I）先判斷函數(shù)的定義域是否關于原點對稱，再判斷f（x）與f（-x）的關系，結合函數(shù)奇偶性的定義，即可得到答案．
          （II）任取x1＜x2＜-1，作差判斷f（x1）與f（x2）的大小，根據(jù)函數(shù)單調性的定義易得到結論；
          （III）將4與2，9與3分別代入函數(shù)f(x)=
          x
          1
          3
          -x-
          1
          3
          5
          ，g(x)=
          x
          1
          3
          +x-
          1
          3
          5
          及得到結論，歸納后可得結論，由函數(shù)的解析式，不難對結論進行證明．
          解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），是關于原點對稱的；
          又f(-x)=
          (-x)
          1
          3
          -(-x)-
          1
          3
          5
          =
          -x
          1
          3
          +x-
          1
          3
          5
          =-f(x)
          ∴f（x）是奇函數(shù)．（4分）
          （Ⅱ）設x1＜x2＜-1，則：f(x1)-f(x2)═
          1
          5
          (x1
          1
          3
          -x2
          1
          3
          )(1+
          1
          x1
          1
          3
          •x2
          1
          3
          )          ，
          ∵x
          1
          3
          -x2
          1
          3
          ＜0          ，
          1
          x1x2
          ＞0          ，(
          1
          x1x2
          )
          1
          3
          ＞0          1+
          1
          x1
          1
          3
          •x2
          1
          3
          ＞0          ，
          ∴f（x1）-f（x2）＜0．即f（x1）＜f（x2）且x1＜x2
          ∴f（x）在（-∞，-1）上單調遞增．（8分）
          （Ⅲ）算得：f（4）-5f（2）•g（2）=0；f（9）-5f（3）•g（3）=0；
          由此概括出對所有不等于零的實數(shù)x都成立的等式是：f（x2）-5f（x）•g（x）=0（12分）
          下面給予證明：∵f（x2）-5f（x）•g（x）=
          x
          2
          3
          -x-
          2
          3
          5
          -5•
          x
          1
          3
          -x-
          1
          3
          5
          •
          x
          1
          3
          +x-
          1
          3
          5

          =
          1
          5
          (x
          2
          3
          -x-
          2
          3
          )          -
          1
          5
          (x
          2
          3
          -x-
          2
          3
          )          =0
          ∴f（x2）-5f（x）•g（x）=0對所有不等于零的實數(shù)x都成立．（14分）
          點評：本題考查的知識點為函數(shù)的奇偶性的判斷，函數(shù)單調性的判斷與證明及歸納推理，其中熟練掌握函數(shù)性質的定義及判斷方法是解答本題的關鍵．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
          （1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
          （2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
          x
          a
          -1)2+(
          b
          x
          -1)2，x∈(0，+∞)          ，其中0＜a＜b．
          （1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
          （2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
          （3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
          求證：f1(x)+f2(x)＞
          4c2
          k(k+c)
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：浙江省東陽中學高三10月階段性考試數(shù)學理科試題
				題型：022
			
          

						
          

          已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．
          

          

          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：上海模擬
				題型：解答題
			
          

						
          已知函數(shù)f(x)=(
          x
          a
          -1)2+(
          b
          x
          -1)2，x∈(0，+∞)          ，其中0＜a＜b．
          （1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
          （2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
          （3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
          求證：f1(x)+f2(x)＞
          4c2
          k(k+c)
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：2009-2010學年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學試卷（理科）（解析版）
				題型：選擇題
			
          

						
          已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
          A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
          B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
          C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
          D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)
          

			
          

			
          
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