Question

已知圓的方程為，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、,直線恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)是橢圓（垂直于軸的一條弦，所在直線的方程為且是橢圓上異于、的任意一點(diǎn)，直線、分別交定直線于兩點(diǎn)、，求證.

Answer 1

（Ⅰ）  （Ⅱ）聯(lián)立方程組表示出向量,再證.

解析試題分析：（Ⅰ） 觀察知，是圓的一條切線，切點(diǎn)為，
設(shè)為圓心，根據(jù)圓的切線性質(zhì)，，
所以， 所以直線的方程為.
線與軸相交于，依題意，所求橢圓的方程為 
（Ⅱ） 橢圓方程為，設(shè)
則有，
在直線的方程中，令，整理得
           ①
同理，     ②
①②，并將代入得
 
===.
而=   
∵且，∴
∴
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生的運(yùn)算能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，難度較大．