Question

選修4-5：不等式選講．
已知函數(shù)f(x)=

x

e

+

1

ex

（e≈2.718…）
（ I）若x₁，x₂∈[1，+∞），x₁≠x₂．求證：

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0；
（ II）若滿足f（|a|+3）＞f（|a-4|+1）．試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（ I）根據(jù)函數(shù)f（x）的表達(dá)式化簡

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

x2+ 1 x2 -x1- 1 x1

e(x2-x1)

=

(1- 1 x1x2 )(x2-x1)

e(x2-x1)

=

1

e

(

x1x2-1

x1x2

)，再結(jié)合條件即可證得

f(x2)-f(x)

x2-x1

＞0；
（ II）由（ I）可知，f（x）在[1，+∞）為單調(diào)增函數(shù)．根據(jù)|a|+3＞1，|a-4|+1≥1且f（|a|+3）＞f（|a-4|+1）得出|a|+3＞|a-4|+1，下面對(duì)a分類討論：當(dāng)a≤0時(shí)；當(dāng)0＜a＜4時(shí)；當(dāng)a≥4時(shí)．即可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（I）

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

x2+ 1 x2 -x1- 1 x1

e(x2-x1)

=

(1- 1 x1x2 )(x2-x1)

e(x2-x1)

=

1

e

(

x1x2-1

x1x2

)…（2分）
∴x₁x₂＞1＞0，∴

x1x2-1

x1x2

＞0，
∵x₁，x₂∈[1，+∞），x₁≠x₂
∴

f(x2)-f(x)

x2-x1

＞0…（5分）
（II）由（ I）可知，f（x）在[1，+∞）為單調(diào)增函數(shù)．
∵|a|+3＞1，|a-4|+1≥1且f（|a|+3）＞f（|a-4|+1）
∴|a|+3＞|a-4|+1…（7分）
當(dāng)a≤0時(shí)，-a+3＞4-a+1，
∴3＞5，∴a∈∅；
當(dāng)0＜a＜4時(shí)，a+3＞4-a+1，
∴a＞1，∴1＜a＜4；
當(dāng)a≥4時(shí)，a+3＞a-4+1，
∴3＞-3，∴a≥4
綜上所述：a＞1…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，以及證明不等式，有一定的難度，是一道很好的中檔題．