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        1. 選修4-5:不等式選講.
          已知函數(shù)f(x)=
          x
          e
          +
          1
          ex
          (e≈2.718…)
          ( I)若x1,x2∈[1,+∞),x1≠x2.求證:
          f(x2)-f(x1)
          x2-x1
          >0
          ;
          ( II)若滿足f(|a|+3)>f(|a-4|+1).試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
          分析:( I)根據(jù)函數(shù)f(x)的表達(dá)式化簡
          f(x2)-f(x1)
          x2-x1
          =
          x2+
          1
          x2
          -x1-
          1
          x1
          e(x2-x1)
          =
          (1-
          1
          x1x2
          )(x2-x1)
          e(x2-x1)
          =
          1
          e
          (
          x1x2-1
          x1x2
          )
          ,再結(jié)合條件即可證得
          f(x2)-f(x)
          x2-x1
          >0
          ;
          ( II)由( I)可知,f(x)在[1,+∞)為單調(diào)增函數(shù).根據(jù)|a|+3>1,|a-4|+1≥1且f(|a|+3)>f(|a-4|+1)得出|a|+3>|a-4|+1,下面對(duì)a分類討論:當(dāng)a≤0時(shí);當(dāng)0<a<4時(shí);當(dāng)a≥4時(shí).即可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
          解答:解:(I)
          f(x2)-f(x1)
          x2-x1
          =
          x2+
          1
          x2
          -x1-
          1
          x1
          e(x2-x1)
          =
          (1-
          1
          x1x2
          )(x2-x1)
          e(x2-x1)
          =
          1
          e
          (
          x1x2-1
          x1x2
          )
          …(2分)
          ∴x1x2>1>0,∴
          x1x2-1
          x1x2
          >0,
          ∵x1,x2∈[1,+∞),x1≠x2
          f(x2)-f(x)
          x2-x1
          >0
          …(5分)
          (II)由( I)可知,f(x)在[1,+∞)為單調(diào)增函數(shù).
          ∵|a|+3>1,|a-4|+1≥1且f(|a|+3)>f(|a-4|+1)
          ∴|a|+3>|a-4|+1…(7分)
          當(dāng)a≤0時(shí),-a+3>4-a+1,
          ∴3>5,∴a∈∅;
          當(dāng)0<a<4時(shí),a+3>4-a+1,
          ∴a>1,∴1<a<4;
          當(dāng)a≥4時(shí),a+3>a-4+1,
          ∴3>-3,∴a≥4
          綜上所述:a>1…(10分)
          點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),以及證明不等式,有一定的難度,是一道很好的中檔題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          選修4-5:不等式選講
          設(shè)x,y,z∈(0,+∞),且x+y+z=1,求
          1
          x
          +
          4
          y
          +
          9
          z
          的最小值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【選修4-5:不等式選講】
          求下列不等式的解集
          (Ⅰ)|2x-1|-|x+3|>0
          (Ⅱ)x+|2x-1|>3.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          選修4-5:不等式選講:
          設(shè)正有理數(shù)x是
          2
          的一個(gè)近似值,令y=1+
          1
          1+x

          (Ⅰ)若x>
          2
          ,求證:y<
          2
          ;
          (Ⅱ)比較y與x哪一個(gè)更接近于
          2
          ?

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2011•鹽城模擬)(選修4-5:不等式選講)
          已知a,b,c為正數(shù),且a2+a2+c2=14,試求a+2b+3c的最大值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•烏魯木齊一模)選修4-5:不等式選講
          設(shè)函數(shù),f(x)=|x-1|+|x-2|.
          (I)求證f(x)≥1;
          (II)若f(x)=
          a2+2
          a2+1
          成立,求x的取值范圍.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案