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        1. 已知橢圓E:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P是x軸上方橢圓E上的一點(diǎn),且PF1⊥F1F2|PF1|=
          3
          2
          ,|PF2|=
          5
          2

          (Ⅰ) 求橢圓E的方程和P點(diǎn)的坐標(biāo);
          (Ⅱ)判斷以PF2為直徑的圓與以橢圓E的長軸為直徑的圓的位置關(guān)系;
          (Ⅲ)若點(diǎn)G是橢圓C:
          x2
          m2
          +
          y2
          n2
          =1(m>n>0)
          上的任意一點(diǎn),F(xiàn)是橢圓C的一個焦點(diǎn),探究以GF為直徑的圓與以橢圓C的長軸為直徑的圓的位置關(guān)系.
          分析:(Ⅰ)由P在橢圓E上,知a=2.由PF1⊥F1F2,知|F1F2|2=|PF2|2-|PF1|2=(
          5
          2
          )2-(
          3
          2
          )2=4
          .由此能求出橢圓E的方程和P點(diǎn)的坐標(biāo).
          (Ⅱ)線段PF2的中點(diǎn)M(0,
          3
          4
          )
          ,以M(0,
          3
          4
          )
          為圓心PF2為直徑的圓M的方程為x2+(y-
          3
          4
          )2=
          25
          16
          .以橢圓E的長軸為直徑的圓的方程為:x2+y2=4,由此可知兩圓相內(nèi)切.
          (Ⅲ)以GF為直徑的圓與以橢圓C的長軸為直徑的圓相內(nèi)切.設(shè)F'是橢圓C的另一個焦點(diǎn),其長軸長為2m(m>0),點(diǎn)G是橢圓C上的任意一點(diǎn),F(xiàn)是橢圓C的一個焦點(diǎn),有|GF|+|GF'|=2m,由此能夠?qū)С鰞蓤A內(nèi)切.
          解答:解:(Ⅰ)∵P在橢圓E上∴2a=|PF1|+|PF2|=4,a=2,….(1分)
          ∵PF1⊥F1F2,∴|F1F2|2=|PF2|2-|PF1|2=(
          5
          2
          )2-(
          3
          2
          )2=4
          ,….(2分)
          2c=2,c=1,∴b2=3.
          所以橢圓E的方程是:
          x2
          4
          +
          y2
          3
          =1
          ….(4分)
          ∵F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),∵PF1⊥F1F2P(-1,
          3
          2
          )
          ….(5分)
          (Ⅱ)線段PF2的中點(diǎn)M(0,
          3
          4
          )

          ∴以M(0,
          3
          4
          )
          為圓心PF2為直徑的圓M的方程為x2+(y-
          3
          4
          )2=
          25
          16

          圓M的半徑r=
          5
          4
          ….(8分)
          以橢圓E的長軸為直徑的圓的方程為:x2+y2=4,圓心為O(0,0),半徑為R=2
          圓M與圓O的圓心距為|OM|=
          3
          4
          =2-
          5
          4
          =R-r
          所以兩圓相內(nèi)切  …(10分)
          (Ⅲ)以GF為直徑的圓與以橢圓C的長軸為直徑的圓相內(nèi)切           …(11分)
          設(shè)F'是橢圓C的另一個焦點(diǎn),其長軸長為2m(m>0),
          ∵點(diǎn)G是橢圓C上的任意一點(diǎn),F(xiàn)是橢圓C的一個焦點(diǎn),
          則有|GF|+|GF'|=2m,則以GF為直徑的圓的圓心是M,圓M的半徑為r=
          1
          2
          |GF|
          ,
          以橢圓C的長軸為直徑的圓O的半徑R=m,
          兩圓圓心O、M分別是FF'和FG的中點(diǎn),
          ∴兩圓心間的距離|OM|=
          1
          2
          |GF′|=m-
          1
          2
          |GF|=R-r
          ,所以兩圓內(nèi)切.….(14分)
          點(diǎn)評:本題考查橢圓E的方程和P點(diǎn)的坐標(biāo)的求法,判斷兩圓的位置關(guān)系,探究以GF為直徑的圓與以橢圓C的長軸為直徑的圓的位置關(guān)系.解題時要認(rèn)真審題材,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,已知橢圓E:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          (a>b>0),焦點(diǎn)為F1、F2,雙曲線G:x2-y2=m(m>0)的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn),設(shè)P是雙曲線G上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),直線PF1、PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D,已知三角形ABF2的周長等于8
          2
          ,橢圓四個頂點(diǎn)組成的菱形的面積為8
          2

          (1)求橢圓E與雙曲線G的方程;
          (2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1和k2,探求k1和k2的關(guān)系;
          (3)是否存在常數(shù)λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立?若存在,試求出λ的值;若不存在,請說明理由.
          精英家教網(wǎng)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知橢圓E:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          (a>b>0),以F1(-c,0)為圓心,以a-c為半徑作圓F1,過點(diǎn)B2(0,b)作圓F1的兩條切線,設(shè)切點(diǎn)為M、N.
          (1)若過兩個切點(diǎn)M、N的直線恰好經(jīng)過點(diǎn)B1(0,-b)時,求此橢圓的離心率;
          (2)若直線MN的斜率為-1,且原點(diǎn)到直線MN的距離為4(
          2
          -1),求此時的橢圓方程;
          (3)是否存在橢圓E,使得直線MN的斜率k在區(qū)間(-
          2
          2
          ,-
          3
          3
          )內(nèi)取值?若存在,求出橢圓E的離心率e的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知橢圓E:
          x2
          a2
          +
          y2
          3
          =1
          (a
          3
          )的離心率e=
          1
          2
          .直線x=t(t>0)與曲線 E交于不同的兩點(diǎn)M,N,以線段MN 為直徑作圓 C,圓心為 C.
           (1)求橢圓E的方程;
           (2)若圓C與y軸相交于不同的兩點(diǎn)A,B,求△ABC的面積的最大值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•佛山二模)已知橢圓E:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的一個交點(diǎn)為F1(-
          3
          ,0)
          ,而且過點(diǎn)H(
          3
          ,
          1
          2
          )

          (Ⅰ)求橢圓E的方程;
          (Ⅱ)設(shè)橢圓E的上下頂點(diǎn)分別為A1,A2,P是橢圓上異于A1,A2的任一點(diǎn),直線PA1,PA2分別交x軸于點(diǎn)N,M,若直線OT與過點(diǎn)M,N的圓G相切,切點(diǎn)為T.證明:線段OT的長為定值,并求出該定值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知橢圓E:
          x2
          a2
          +y2=1
          (a>1)的離心率e=
          3
          2
          ,直線x=2t(t>0)與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)M、N,以線段MN為直徑作圓C,圓心為C
          (Ⅰ)求橢圓E的方程;
          (Ⅱ)當(dāng)圓C與y軸相切的時候,求t的值;
          (Ⅲ)若O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△OMN面積的最大值.

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          同步練習(xí)冊答案