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          由倍角公式cos2x=2cos2x-1，可知cos2x可以表示為cosx的二次多項式．對于cos3x，我們有
          cos3x=cos（2x+x）
          =cos2xcosx-sin2xsinx
          =（2cos2x-1）cosx-2（sinxcosx）sinx
          =2cos3x-cosx-2（1-cos2x）cosx
          =4cos3x-3cosx
          可見cos3x可以表示為cosx的三次多項式．一般地，存在一個n次多項式Pn（t），使得cosnx=Pn（cosx），這些多項式Pn（t）稱為切比雪夫多項式．
          （I）求證：sin3x=3sinx-4sin3x；
          （II）請求出P4（t），即用一個cosx的四次多項式來表示cos4x；
          （III）利用結(jié)論cos3x=4cos3x-3cosx，求出sin18°的值．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          （I）證明：∵sin3x=-cos(
          3π
          2
          -3x)=-cos[3(
          π
          2
          -x)]=-[4cos3(
          π
          2
          -x)-3cos(
          π
          2
          -x)]
          =-（4sin3x-3sinx）=3sinx-4sin3x，故等式成立．
          （II）cos4x=cos（2•2x）=2cos22x-1=2（2cos2x-1）2-1=2（4cos4x-4cos2x+1）-1
          =8cos4x-8cos2x+1．
          （III）∵sin36°=cos54°，∴2sin18°cos18°=4cos318°-3cos18°，
          ∴4sin218°+2sin18°-1=0，∴sin18°=
          		5
          -1
          4
          ．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          由倍角公式cos2x=2cos2x-1，可知cos2x可以表示為cosx的二次多項式．對于cos3x，我們有
          cos3x=cos（2x+x）
          =cos2xcosx-sin2xsinx
          =（2cos2x-1）cosx-2（sinxcosx）sinx
          =2cos3x-cosx-2（1-cos2x）cosx
          =4cos3x-3cosx
          可見cos3x可以表示為cosx的三次多項式．一般地，存在一個n次多項式Pn（t），使得cosnx=Pn（cosx），這些多項式Pn（t）稱為切比雪夫多項式．
          （I）求證：sin3x=3sinx-4sin3x；
          （II）請求出P4（t），即用一個cosx的四次多項式來表示cos4x；
          （III）利用結(jié)論cos3x=4cos3x-3cosx，求出sin18°的值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          由倍角公式cos2x=2cos2x-1，可知cos2x可以表示為cosx的二次多項式．
          對于cos3x，我們有
          cos3x=cos（2x+x）=cos2xcosx-sin2xsinx
          =（2cos2x-1）cosx-2（sinxcosx）sinx
          =2cos3x-cosx-2（1-cos2x）cosx
          =4cos3x-3cocs．
          可見cos3x可以表示為cosx的三次多項式．
          一般地，存在一個n次多項式Pn（t），使得cosnx=Pn（cosx），這些多項式Pn（t）稱為切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多項式．
          （1）請嘗試求出P4（t），即用一個cosx的四次多項式來表示cos4x．
          （2）化簡cos（60°-θ）cos（60°+θ）cosθ，并利用此結(jié)果求sin20°sin40°sin60°sin80°的值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：解答題
			
          

						
          由倍角公式cos2x=2cos2x-1，可知cos2x可以表示為cosx的二次多項式．對于cos3x，我們有
          cos3x=cos（2x+x）
          =cos2xcosx-sin2xsinx
          =（2cos2x-1）cosx-2（sinxcosx）sinx
          =2cos3x-cosx-2（1-cos2x）cosx
          =4cos3x-3cosx
          可見cos3x可以表示為cosx的三次多項式．一般地，存在一個n次多項式Pn（t），使得cosnx=Pn（cosx），這些多項式Pn（t）稱為切比雪夫多項式．
          （I）求證：sin3x=3sinx-4sin3x；
          （II）請求出P4（t），即用一個cosx的四次多項式來表示cos4x；
          （III）利用結(jié)論cos3x=4cos3x-3cosx，求出sin18°的值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：2010-2011學(xué)年遼寧省大連市協(xié)作體高一（下）4月月考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          由倍角公式cos2x=2cos2x-1，可知cos2x可以表示為cosx的二次多項式．對于cos3x，我們有
          cos3x=cos（2x+x）
          =cos2xcosx-sin2xsinx
          =（2cos2x-1）cosx-2（sinxcosx）sinx
          =2cos3x-cosx-2（1-cos2x）cosx
          =4cos3x-3cosx
          可見cos3x可以表示為cosx的三次多項式．一般地，存在一個n次多項式Pn（t），使得cosnx=Pn（cosx），這些多項式Pn（t）稱為切比雪夫多項式．
          （I）求證：sin3x=3sinx-4sin3x；
          （II）請求出P4（t），即用一個cosx的四次多項式來表示cos4x；
          （III）利用結(jié)論cos3x=4cos3x-3cosx，求出sin18°的值．
          

			
          

			
          
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