Question

已知數(shù)列{a_n}的首項a₁，a₃=

8

9

，a_n+1=

2an

an+1

（n=1，2，…）．
（1）求a₁；
（2）證明：數(shù)列{

1

an

-1}是等比數(shù)列；
（3）求數(shù)列通項公式a_n．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列遞推式，代入計算，可得a₁；
（2）利用數(shù)列遞推式，取倒數(shù)，兩邊再減去1，即可證得數(shù)列{

1

an

-1}是等比數(shù)列；
（3）利用等比數(shù)列的通項公式，可求數(shù)列通項公式a_n．

解答：（1）解：∵a₃=

8

9

，a_n+1=

2an

an+1

，∴a₃=

2a2

a2+1

，∴a₂=

4

5

∵a₂=

2a1

a1+1

，∴a₁=

2

3

；
（2）證明：∵a_n+1=

2an

an+1

，∴

1

an+1

=

1

2an

+

1

2

∴

1

an+1

-1=

1

2

（

1

an

-1）
∵a₁=

2

3

，∴

1

a1

-1=

1

2

∴數(shù)列{

1

an

-1}是以

1

2

為首項，

1

2

為公比的等比數(shù)列；
（3）解：由（2）知，

1

an

-1=(

1

2

)n
∴

1

an

=(

1

2

)n+1，∴a_n=

2n

2n+1

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項，屬于中檔題．