Question

已知實數(shù)a滿足a＞0且a≠1．命題P：函數(shù)y=log_a（x+1）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減；命題Q：曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點(diǎn)．如果“P∨Q”為真且“P∧Q”為假，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：當(dāng)P為真命題時，根據(jù)對數(shù)型函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律得到0＜a＜1；根據(jù)一元二次方程根的判別式，得到當(dāng)Q為真命題時，或．因為“P∨Q”為真且“P∧Q”為假，說明命題P、Q中一個為真，另一個為假，最后據(jù)此進(jìn)行分類討論，可得a的取值范圍．
解答：解：先看命題P
∵函數(shù)y=log_a（x+1）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，a＞0，a≠1，
∴命題P為真時?0＜a＜1…（2分）
再看命題Q
當(dāng)命題Q為真時，二次函數(shù)對應(yīng)的一元二次方程根的判別式滿足
△=（2a-3）²-4＞0⇒或…（4分）
由“P∨Q”為真且“P∧Q”為假，知P、Q有且只有一個正確．…（6分）
（1）當(dāng)P正確且Q不正確⇒…（9分）
（2）當(dāng)P不正確且Q正確，⇒…（12分）
綜上所述，a取值范圍是…（14分）
點(diǎn)評：本題以函數(shù)的單調(diào)性和二次函數(shù)零點(diǎn)的問題為載體，考查了命題真假的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題．